[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 novembre 2014

Enoncés

Fonctions usuelles

1

Exercice 6 [ 01831 ] [correction]
Montrer que le nombre de chiffres dans l’écriture décimale d’un entier n > 0 est log10 n + 1.

Radicaux

Exercice 7 [ 03626 ] [correction]
[Lemme de Gibbs]
a) Justifier
∀x > 0, ln x

Exercice 1 [ 01832 ] [correction]
√
√
a) Etablir que pour tout x, y ∈ R+ , y − x
|y − x|.
b) Ce résultat est-il encore vrai en terme de racine cubique ?

x−1

b) Soient (p1 , . . . , pn ) et (q1 , . . . , qn ) des n-uplets formés de réels strictement positifs vérifiant

Logarithmes

n

1 x − x2
2

n

pk =

Exercice 2 [ 01827 ] [correction]
Etablir, pour tout x 0, l’encadrement

k=1

Etablir ln(1 + x)

n

x

qk = 1 k=1 n

pi ln qi i=1 pi ln pi i=1 Dans quel(s) cas y a-t-il égalité ?
Exercice 3 [ 01828 ] [correction]
a) Montrer que, pour tout x > −1

Puissances et exponentielles ln(1 + x)

x
Exercice 8 [ 01833 ] [correction]
Simplifier ab pour a = exp x2 et b =

b) En déduire que pour tout n ∈ N\ {0, 1}
1+

1 n n

1−

e

Exercice 9 [ 01834 ] [correction]
Parmi les relations suivantes, lesquelles sont exactes :
a) (ab )c = abc
d) (ab)c = ac/2 bc/2

Exercice 5 [ 01830 ] [correction]
Soit 0 < a b. On pose f : x →

ln

a+b
2

Exercice 10
Comparer

[ 01835 ]

b) ab ac = abc c e) (ab )c = a(b )

c) a2b = (ab )2
f) (ab )c = (ac )b ?

[correction] x lim+ x(x

x→0 ln(1+ax) ln(1+bx)

ln x1/x .

−n

1 n Exercice 4 [ 01829 ] [correction]
Montrer que pour tout a, b > 0
1
(ln a + ln b)
2

1 x )

et lim+ (xx )x x→0 définie sur R+ .

Etudier la monotonie de f et en déduire que ln 1 +

a b ln 1 +

b a 2

(ln 2) .

Exercice 11 [ 01836 ] [correction]
Déterminer les limites suivantes :
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a) lim x1/x x→+∞ √

b) lim x

x

Enoncés

c) lim+ x1/x

x→0

Exercice 18 [ 01841 ] [correction]
Calculer cos π8 en observant 2 × π8 =

x→0

Exercice 12 [ 01837 ]