Fonctions et variations

Voilà une nouvelle notions sur les fonction : les variations. Une fonction sera soit croissante, soit décroissante, soit constante. Ce chapitre se veut introductif et sera bien plus étudié l’année prochaine, quelque soit la section que vous choisirez.

I - Variations d’une fonction
La définition de sens de variation d’une fonction est à maîtriser absolument. Comprenez bien chaque mot de la définition qui suit. Définition : Soit une fonction f définie sur un domaine D et I un intervalle de D. – f est croissante sur I si et seulement si pour tout x1 , x2 ∈ I, tels que x1 – f est décroissante sur I si et seulement si pour tout x1 , x2 ∈ I, tels que x1 x2 , on a f (x1 ) x2 , on a f (x1 ) f (x2 ), f (x2 ),

– f est constante sur I si et seulement si il existe un k ∈ R (un réel k) tel que pour tout réel x de I on f (x) = k. Je n’ai absolument rien compris ! Pouvez-vous m’aider s’il-vous-plaît ? Tout de suite. Je vais tout vous interpréter. Interprétation :

– Pour une fonction croissante, plus on avance dans les x croissants, plus on avancera dans les f (x) croissants. Pour un premier x1 , on aura l’image f (x1 ), et pour un x2 plus grand que x1 , on aura un f (x2 ) plus grand que le f (x1 ). Donc la fonction monte au fur et à mesure qu’on avance dans les x, elle croît.

¿ ¾ ½

¹

¹

¹¿

¹¾

¹½ ¹½ ¹¾ ¹¿ ¹ ¹

Ç

ß½

¾

¿

On voit bien que pour x1 = −1

x2 = 3, on a f (x1 ) = −1

f (x2 ) = 2, 5.

– Pour une fonction décroissante, plus on avance dans les x croissants, plus on avancera dans les f (x) décroissants. Pour un premier x1 , on aura l’image f (x1 ), et pour un x2 plus grand que x1 , on aura un f (x2 ) plus petit que le f (x1 ). Donc la fonction descend au fur et à mesure qu’on avance dans les x, elle décroît.

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¿ ¾ ½

¹

¹

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¹¾

¹½ ¹½ ¹¾ ¹¿ ¹ ¹

Ç

ß½

¾

¿

On voit bien que pour x1 = −1

x2 = 5, on a f (x1 ) = 1

f (x2 ) = −3.

Et comment on montre qu’une fonction est croissante ou décroissante ? Il y a une méthode bien