Chapitre 1 :

Suites numériques

I.

Comportement d’une suite numérique

1.

Suites majorées, minorées, bornées

Définitions :




Soit

une suite définie sur .

Dire que la suite est majorée signifie qu’il existe un réel
Dire que la suite est minorée signifie qu’il existe un réel
Dire que est bornée signifie qu’il existe deux réels et

tel que pour tout entier naturel , tel que pour tout entier naturel , tels que pour tout entier naturel n,

Méthodes pour démontrer qu’une suite est majorée, minorée ou bornée :

.

Remarque importante :



Pour démontrer qu’une suite est majorée par (ou minorée par
, on peut :
 Étudier algébriquement le signe de
(ou
;
[;
 Si
, utiliser le sens de variation de la fonction sur [
 Utiliser un raisonnement par récurrence.
2.

.
.

Une suite
Une suite

croissante a pour minorant décroissante a pour majorant

Limite finie d’une suite numérique

Définition :
Une suite admet pour limite le réel si tout intervalle ouvert contenant à partir d’un certain rang , c’est-à-dire que pour tout entier
On écrit

et on dit que la suite

(aussi petit soit-il) contient tous les termes

de la suite

est convergente de limite , ou qu’elle converge vers .

Lorsqu’une suite converge, sa limite est unique.
Remarque :

3.

Cette définition traduit l’accumulation des termes
« autour » de .
Limite infinie d’une suite numérique

Définition :
Une suite a pour limite si tout intervalle ouvert de la forme ] de la suite à partir d’un certain indice , c’est-à-dire que pour tout entier
On écrit

et on dit que la suite

diverge vers

[ , où

est un réel quelconque, contient tous les termes
.

.

Remarques :

Cette définition traduit l’idée que les termes finissent par dépasser n’importe quel réel aussi grand soit-il.


signifie que que tout intervalle ouvert de la forme ]

contient tous les termes
4.

L’écriture

de la suite à partir d’un