Groupes ponctuels

Pages: 9 (2091 mots) Publié le: 14 mars 2011
UJF - Licence 3 de Physique Année 2009 / 2010

Travaux dirigés de cristallographie et diffraction des rayons X

Feuille de TD n°1 GROUPES PONCTUELS - corrigé

Exercice 1. a- Un cristal possédant la symétrie d'inversion ne peut pas être ferroélectique, car à chaque r r moment dipolaire électrique p correspond par symétrie un moment − p . La résultante vaudra donc toujours zéro (voir figure).r p r −p

b- Un axe d'ordre 2 n'inverse pas un moment dipolaire électrique qui lui est parallèle, mais il l'inverse dans le cas où il lui est perpendiculaire. Autrement dit, pour un moment dipolaire de direction quelconque, seule la résultante du moment dipolaire parallèle à l'axe 2 est non nulle (voir figure). En conclusion, un cristal possédant un axe 2 peut être ferroélectrique avec unmoment dipolaire électrique parallèle à l'axe 2.

r p'

r p

r −p

Exercice 2. −1 0 0     0 −1 0   0 0 1   axe 2 // z

−1 0 0   1 0 0       0 −1 0  =  0 1 0   0 0 −1   0 0 −1      inversion miroir ⊥ z

Exercice 3.  cos θ − sin θ 0    • Rz (θ ) =  sin θ cos θ 0   0 0 1   

 1  • Rx (θ ) =  0  0 

  cos θ   cos θ − sin θ  , R y (θ ) =  0 − sin θ sin θ cos θ    0 0
1

0 1 0

sin θ   0  cos θ  

 0 −1 0   1 0 0   0 0 1        • Pour θ = 90° : Rz (90°) =  1 0 0  ; Rx (90°) =  0 0 − 1 ; R y (90°) =  0 1 0 ;  0 0 1  0 1 0   −1 0 0         1 0 0   0 0 1   0 0 1       • Rx (90°) × R y (90°) =  0 0 − 1  ×  0 1 0  =  1 0 0   0 1 0   −1 0 0   0 1 0       

x' =y, y' = z, z' = x

Il s'agit d'une rotation de 2π/3 autour de la direction x + y + z z
axe 3

En effet, comme le montre la figure ci-contre (regarder depuis l'endroit où est représenté un œil sur la figure), une telle rotation transforme l'axe x en y, y en z, et z en x. x

y

• Ry

−1

 0 0 −1    (90°) = R y (−90°) =  0 1 0   1 0 0     0 0 −1   0 0 1   0 −1 0       (90°) Rx (90°) R y (90°) =  0 1 0  ×  1 0 0  =  1 0 0  = Rz (90°)  1 0 0   0 1 0  0 0 1       

Et donc R y

−1

Exercice 4. L'axe x est choisi horizontalement vers la droite et l'axe y verticalement vers le haut. La figure du haut montre comment un point est transformé par le produit des 2 deux symétries considérées, en partant d'une croix située en haut à gauche (lepoint intermédiaire est noté en pointillés). La figure du dessous fait apparaître l'élément de symétrie produit des deux premiers.

2y.2x = 2z

my.mx = 2z
2

1.mz = 2z

1. 2z = mz

2x.4z = 2x-y

4z.2x = 2x+y

Exercice 5.
Groupe ponctuel 422 Eléments de symétrie présents : - Direction primaire : axe 4 // z - Direction secondaire : axe 2 ⊥ z, selon x L'axe 4 génère par symétrie undeuxième axe 2 ⊥ x et z, selon y - Direction secondaire : axe 2 ⊥ z, à 45° de x et y L'un est selon x+y, l'autre selon x-y (tous deux se correspondent par l'axe 4) D'après la projection stéréographique, il existe 8 directions équivalentes : l'ordre du groupe est donc 8. y

1 6 2 5
z

7 4

x+y

x

8 3
x-y

Ce groupe ponctuel peut être généré par l'axe d'ordre 4 // z (symétrie a) etl'axe d'ordre 2 // x (ou y) (symétrie b). En effet les 8 directions équivalentes, dans la projection stéréographique ci-dessous, peuvent être obtenues grâce à l'action de l'axe d'ordre 4 et d'un axe d'ordre 2 seul : Axe d'ordre 4 // z : 1 2 3 4 Axe d'ordre 2 // x : 1 5, 2 6, 3 7, 4 8 On a bien a 4 = b 2 = e. En effet : 2π a4 angle 4 × = 2π identité ; b 2 4

angle 2 ×

2π = 2π 2

identité

Parailleurs, l'effet de la symétrie ab est le suivant : 1 5 8 Ce qui correspond à une rotation d'ordre 2 autour de la direction x+y 2π Ainsi, (ab)2 angle 2 × = 2π autour de la direction x+y identité 2 L'axe d'ordre 2 selon la direction tertiaire est donc généré par l'axe d'ordre 4 selon la direction primaire et l'axe d'ordre 2 selon la direction secondaire.
3

Exercice 6.
Sous chaque...
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