Chapitre 6

Formules int´grales e 6.1

Int´grales curvilignes e Soit γ : t −→ γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) une courbe param´tr´e r´guli`re de e e e e l’espace R3 et V = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) un champ de vecteurs.

6.1.1

D´finition e On appelle int´grale curviligne de V le long de γ, l’int´grale : e e b V · γ dt =

P (x(t), y(t), z(t)) x (t)

+

Q(x(t), y(t), z(t)) y (t)

+

γ

R(x(t), y(t), z(t)) z (t) dt

a

Exemple
Calculer l’int´grale curviligne donnant la circulation du vecteur V = e x−y x+y le long du cercle C de centre (0, 0) et de rayon 1.
Le cercle C sera param´tris´ par : e e

 x = cos t y = sin t γ(t) :

t ∈ [0, 2π]
Par d´finition, on pose e 2π

I

V · γ (t) dt =

=

C
2π

I

=
0

0

cos t − sin t (− sin t) + cos t − sin t cos t dt

1 − 2 sin t cos t dt = 2π

49

´
CHAPITRE 6. FORMULES INTEGRALES

50

6.1.2

Th´or`me : Travail d’un champ de gradient e e

Soit f : R3 → R une fonction diff´rentiable sur un ouvert U de R3 , et soit e −→
−
V = grad f son champ de gradient. Soit γ une courbe diff´rentiable de R3 , e contenue dans U et d’origine A et d’extr´mit´ B. Alors on a : e e γ V · γ dt = f (B) − f (A)

On dit que le travail d’un champ de gradient ne d´pend que des extr´mit´s e e e de la courbe. preuve Il suffit de voir que la primitive de l’expression
∂f
(x(t), y(t), z(t)) x (t)
∂x

+
+

∂f
(x(t), y(t), z(t)) y (t)
∂y
∂f
(x(t), y(t), z(t)) z (t)
∂z

est exactement la fonction : t → f (x(t), y(t), z(t))

6.1.3

Th´or`me : Formule de Green-Riemann e e

Si γ est une courbe plane ferm´e de classe C 1 par morceaux d´limitant un e e domaine compact simple D du plan, alors on a la formule de Green-Riemann :

γ

V · γ dt =

D

∂Q ∂P
−
∂x
∂y

dxdy

o` la courbe γ est parcourue en laissant le dommaine constamment ` sa gauche. u a
Cette formule est un cas particulier de la formule du