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Pages: 7 (1511 mots) Publié le: 25 juin 2014
Chapitre 6

Formules int´grales
e
6.1

Int´grales curvilignes
e

Soit γ : t −→ γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) une courbe param´tr´e r´guli`re de
e e e
e
l’espace R3 et V = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) un champ de vecteurs.

6.1.1

D´finition
e

On appelle int´grale curviligne de V le long de γ, l’int´grale :
e
e
b

V · γ dt =

P (x(t), y(t), z(t)) x (t)

+Q(x(t), y(t), z(t)) y (t)

+

γ

R(x(t), y(t), z(t)) z (t) dt

a

Exemple
Calculer l’int´grale curviligne donnant la circulation du vecteur V =
e

x−y
x+y

le long du cercle C de centre (0, 0) et de rayon 1.
Le cercle C sera param´tris´ par :
e e

 x = cos t
y = sin t
γ(t) :

t ∈ [0, 2π]
Par d´finition, on pose
e



I

V · γ (t) dt =

=

C


I

=
0

0cos t − sin t (− sin t) + cos t − sin t cos t dt

1 − 2 sin t cos t dt = 2π

49

´
CHAPITRE 6. FORMULES INTEGRALES

50

6.1.2

Th´or`me : Travail d’un champ de gradient
e e

Soit f : R3 → R une fonction diff´rentiable sur un ouvert U de R3 , et soit
e
−→

V = grad f son champ de gradient. Soit γ une courbe diff´rentiable de R3 ,
e
contenue dans U et d’origine A etd’extr´mit´ B. Alors on a :
e
e
γ

V · γ dt = f (B) − f (A)

On dit que le travail d’un champ de gradient ne d´pend que des extr´mit´s
e
e
e
de la courbe.
preuve
Il suffit de voir que la primitive de l’expression
∂f
(x(t), y(t), z(t)) x (t)
∂x

+
+

∂f
(x(t), y(t), z(t)) y (t)
∂y
∂f
(x(t), y(t), z(t)) z (t)
∂z

est exactement la fonction :
t → f (x(t), y(t), z(t))

6.1.3Th´or`me : Formule de Green-Riemann
e e

Si γ est une courbe plane ferm´e de classe C 1 par morceaux d´limitant un
e
e
domaine compact simple D du plan, alors on a la formule de Green-Riemann :

γ

V · γ dt =

D

∂Q ∂P

∂x
∂y

dxdy

o` la courbe γ est parcourue en laissant le dommaine constamment ` sa gauche.
u
a
Cette formule est un cas particulier de la formule du paragraphesuivant.
Exemple
x3 − y 3
x3 + y 3
le long du cercle C de centre (0, 0) et de rayon 1 parcouru dans le sens trigonom´trique.
e
Calculer l’int´grale curviligne donnant la circulation du vecteur V =
e

La formule de Green-Riemann donne l’int´grale double sur le disque D
e
d’´quation : x2 + y 2 ≤ 1.
e
(3x2 + 3y 2 ) dxdy

I=
D

On peut int´grer en passant en coordonn´es polaires :
ee
3ρ2 ρ dρ dθ =

I=
[0,1]×[0,2π]

3
π
2

´
6.2. INTEGRALES DE SURFACES

51

Une application au calcul d’aire plane
Si γ est une courbe plane ferm´e de classe C 1 par morceaux d´limitant un
e
e
domaine compact simple D du plan, alors l’aire de D peut se calculer par :
A(D)

=

dxdy =
D

=

1
2

γ

x(t)y (t)dt =
γ

γ

−y(t)x (t)dt

(x(t)y (t) − y(t)x (t))dtExemple
Calculer l’aire de l’ellipse d’´quation :
e

y2
x2
+ 2 = 1.
2
a
b

On param´trise l’ellipse par :
e

 x = a cos t
y = b sin t
γ(t) :

t ∈ [0, 2π]

Puis on applique la formule :
A

=

dxdy =
D


x(t) y (t)dt
γ


0

=

6.2

(ab cos2 t) dt

(a cos t b cos t) dt =

=

0

πab

Int´grales de surfaces
e

Soit Σ une surface r´guli`reparam´tr´e de l’espace R3 de param´trisation :
e
e
e e
e
σ : D ⊂ R2
(u, v)

−→ R3
−→
x(u, v), y(u, v), z(u, v)

Soit φ(x, y, z) un champ scalaire de l’espace.

6.2.1

D´finition : Int´grale de surface
e
e

On appelle Int´grale de φ sur la surface Σ, l’int´grale :
e
e
φ dσ
Σ

=
D

φ(σ(u, v))||N || dudv

o` N est le vecteur normal associ´ ` la param´trisation.
u
ea
e ´
CHAPITRE 6. FORMULES INTEGRALES

52
Remarque

La quantit´ ||N ||dudv est appel´e ”´l´ment de surface” et not´e dσ.
e
e ee
e
Exemple
Calculer l’aire du tronc de cˆne Σ : x2 + y 2 = z 2
o

0 ≤ a ≤ z ≤ b.

On a juste ` calculer l’int´grale
a
e
dσ, o` le tronc de cˆne Σ sera param´tris´
u
o
e e
Σ
par :

 x = r cos t


y = r sin t
σ(t) :
 z=r


a ≤ r...
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