(a+b)²=a²+2ab+b²
En mathématiques, on appelle identités remarquables ou encore égalités remarquables certaines égalités qui s'appliquent à des nombres. Elles servent en général à accélérer les calculs, à simplifier certaines écritures, à factoriser ou à développer des expressions. Elles servent pour la résolution des équations du second degré et sont plus généralement utiles pour la recherche de solutions d'équations[Note 1].

La plupart de ces identités remarquables ont tout d'abord été démontrées à l'aide de raisonnements géométriques puis ont été généralisées à des puissances supérieures par des calculs algébriques.

On démontre de même la troisième identité remarquable :La même technique de démonstration que celle utilisé pour les formules de degré 2 montre que, si a et b désignent toujours deux nombres :

Appliqué encore une fois, on obtient :

On peut la généraliser à un degré n quelconque, à l'aide de la formule du binôme :

Les coefficients de l'expression, considérée comme un polynôme en x et en y sont appelés coefficients binomiaux. Comme b peut prendre une valeur négative, on obtient bien les deux formes précédentes.

La formule s'applique même si a et b ne sont pas des nombres. Ces lettres peuvent désigner deux matrices qui commutent entre elles. De manière générale, la formule est vraie dans un anneau, si a et b commutent.

Différence ou somme de puissances[modifier]Il est aussi possible de généraliser la troisième identité remarquable de degré 2. Si a et b désignent deux nombres :

Si l'on travaille dans un ensemble qui n'est pas celui des nombres, la dernière formule n'est valable que si √2 existe, c'est-à-dire s'il existe une valeur c telle que c2 soit égal à 1 + 1. Il faut, en conséquence que l'élément neutre de la multiplication existe.

La formule suivante permet de généraliser la démarche