Introduction aux maths financieres

Pages: 32 (7780 mots) Publié le: 1 janvier 2015
Introduction aux
mathématiques
financières

Septembre 2013

Version 0.2

Aymric Kamega Actuaire
aymric.kamega@univ-brest.fr

EURIA
Septembre 2013

2013

Préambule : à propos des mathématiques financières
On peut définir globalement les mathématiques financières « comme l’application
des mathématiques aux opérations financières non instantanées (c’est-à-dire
faisant intervenirle temps) » (cf. Le Borgne [2003]).
Leur but est ainsi de déterminer les engagements actuels ou à terme des parties
contractantes, mais également de déduire de ces engagements la rentabilité
réelle ou escomptée de l’opération.
Traditionnellement, elles se rattachent à l’analyse des opérations de prêts et
d’emprunts dans un environnement certain (principalement bancaire).
Au cours de cestrente dernières années toutefois, est apparu en matière de
financement un glissement vers des systèmes d’économie des marchés
financiers.
L’une des caractéristiques de ces marchés est la grande volatilité des cours
boursiers et des taux d’intérêt, qu’il convient de prendre en compte. Une question
apparaît alors : qu’est-ce qu’un cours boursier ? Qu’est-ce qu’un taux d’intérêt ?
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2013

Préambule : à propos des cours boursiers
Le cours d’une société cotée est sensé refléter sa « valeur fondamentale »
(somme de ses revenus futurs actualisés), telle qu’elle peut ressortir d’une
analyse économique de l’activité de l’entreprise et de ses perspectives.
Les écarts entre la valeur fondamentale et la capitalisation boursière d’une société
sont en généralinterprétés comme la conséquence de comportements spéculatifs
qui auraient pour conséquence de créer un décalage entre l’« économie réelle » et
le monde de la finance.
En pratique, cette dichotomie entre une analyse économique objective d’une part
et un comportement largement irrationnel des marchés boursiers d’autre part peut
être dépassée au prix d’une réflexion sur la nature de l’aléasous-jacent à la
détermination de la valeur.
En effet, le cours de bourse est principalement déterminé par l’offre et la demande
de financement d’une société, et celles-ci sont très sensibles aux anticipations de
revenu, elles-mêmes très sensibles au modèle d’anticipation retenu sachant que
l’horizon de vie d’une société est souvent indéterminé, voire infini.
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2013 Préambule : à propos des taux d’intérêt
Un taux d’intérêt peut s’interpréter comme le prix de l’argent, mais aussi comme
un « taux de change » explicite entre le présent et le futur.
En notant r le taux d’intérêt pour la date 1, fixer un taux d’intérêt pertinent revient
ainsi à fixer le niveau de richesse 1+r > 1 désiré en 1 (dans le futur) en échange
d’une unité de richesse en 0 (dans leprésent).
Le taux d’intérêt dépend ainsi de la capacité à « créer de la richesse » pour la
génération future et de la « part de la richesse créée » transférée à la génération
future.
En pratique, sauf à provoquer des arbitrages entre activité financière et activité
réelle, on considère généralement que :
Taux d’intérêt réel à long terme = Taux de croissance réel à long terme
Parallèlement, à longterme, il est également considéré que :
Taux d’intérêt nominal = Taux d’intérêt réel + Taux d’inflation anticipé
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Préambule : à propos des taux d’intérêt
Au-delà de la distinction classique taux nominaux / taux réels, il existe un clivage
entre les taux courts et les taux longs, les taux d’intérêts étant différenciés par
l’échéance du crédit.
La courbedes taux représente graphiquement la relation entre le niveau des taux
d’intérêt et leur échéance (3 mois, 1 an, 2 ans, … , 10 ans). Elle peut être, selon
les circonstances, croissante (les taux courts sont supérieurs aux taux longs),
inversée (les taux courts sont inférieurs aux taux longs), en « cloche », etc.
La forme de la courbe dépend en particulier des anticipations des agents privés...
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