CHAPITRE

1
ACTIVITÉS

Fonctions, équations, inéquations
(page 23)

Activité 1

b) C’est une fonction décroissante (lorsque le temps augmente, la quantité d’eau diminue).

1 a) f(2) < f(5). f(4,2) > f(1,6).
b) g(1) > g(3,5). g(2,6) < g(1,9).

2

a) S est une fonction croissante (lorsque le rayon r augmente, l’aire S augmente).

Activité 2
Pas de corrigé.

PROBLÈME OUVERT
• Piste 1 : Exprimez le volume en fonction de x et de h.
• Piste 2 : Déduisez-en l’expression de h en fonction de x.
• Piste 3 : Exprimez l’aire des parois en fonction de x.
• Piste 4 : Justifiez que l’aire des parois est A(x) = x2 + 16 . x • Piste 5 : Programmez la table de valeurs de A pour des valeurs de x allant de 0 à 10 avec un pas de 0,5.
• Piste 6 : Réduisez le pas.
• Piste 7 : Conjecturez une valeur de x permettant d’utiliser le minimum de peinture.
Correction : Dans tout ce qui suit x > 0.
Le volume est V = x2h, ce volume vaut 4, donc x2h = 4 et h = 42 . x L’aire des parois latérales est A(x) = x2 + 4xh (le carré de base et quatre rectangles de dimensions x et h).
Puisque h = 42 , on obtient : x A(x) = x2 + 4x × 42 = x2 + 16 . x x

10

On représente la courbe de A à l’aide de GeoGebra, par exemple, et on conjecture que x = 2 (en mètres) est la valeur de x qui permet d’utiliser le minimum de peinture.
Pour obtenir une solution algébrique, on peut former la différence A(x) – A(2), puis étudier son signe pour justifier que A(2) est le minimum de A.
A(x) – A(2) = x2 + 16 – 12 x x3 – 12x + 16 .
=
x
Il s’agit donc de déterminer le signe de x3 – 12x + 16 puisque x > 0.
En utilisant le logiciel XCas, on obtient la factorisation suivante : x3 – 12x + 16 = (x – 2)2 (x + 4).
Comme x > 0, alors x + 4 > 0 et (x – 2)2 у 0 et ainsi A(x) – A(2) у 0.
Ce qui prouve que A(x) у A(2) et x = 2 est bien la valeur qui minimise la quantité de peinture à utiliser.

Application (page 27)

EXERCICES
1

b) – 2 ∉ ]– ∞ ; – 1[.
3
d) 7 ∉ ]0 ;