Chapitre 5
Primitives et int´egrales
1

D´efinition et propri´et´e

1.1

D´efinition

D´efinition 1.1 Soit f une fonction d´efinie sur un intervalle I. Une primitive de f sur I est une fonction F d´erivable sur I et telle que, pour tout r´eel x de I, F 0 (x) = f (x).
On a alors le th´eor`eme suivant.
Th´eor`eme 1.1 Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I, deux d’entre elles diff´erant d’une constante.
Il est important de bien connaˆıtre les primitives de fonctions usuelles : on s’y ram`ene toujours. La table ci-dessous pr´ecise bien les intervalles sur lesquels on consid`ere les fonctions.
Par la suite, on utilisera la notation usuelle
Z
f (x)dx

pour d´esigner une primitive de la fonction f (x). Il faut bien voir qu’elle cache une ambigu¨uit´e, puisque qu’une primitive n’est d´efinie qu’`a une constante pr`es sur un intervalle. Syst´ematiquement, quand on e´ crit des e´ galit´es entre primitives, on oubliera ces “constantes d’int´egration”. Il faut se souvenir que c’est un abus de notation.
Soient a et b deux r´eels d’un intervalle I, et f une fonction continue sur I. L’int´egrale de a a` b de f , not´ee
Z
b

f (x)dx,

a

est le r´eel F (b)

1.2

F (a) o`u F est une primitive quelconque de f sur I.

Propri´et´e de l’int´egrale

C’est l’utilisation de
Z
( f (x) + µ g(x) ) dx =

Z
61

f (x)dx + µ

Z

g(x)dx.

62

Primitives et int´egrales

Fonction

Primitive

Domaine de validit´e

x 7! ex

x 7! ex + C

R

x 7! x↵ , ↵ 2 R+

x 7!

1 x↵+1 ↵+1

+C

R

x 7! x↵ , ↵ 2 R⇤ \ { 1}

x 7!

1 x↵+1 ↵+1

+C

R+
⇤

x 7! 1/x

x 7! ln(x) + C

R+
⇤

x 7! cos(x)

x 7! sin(x) + C

R

x 7! sin(x)

x 7!

R

x 7! sh(x)

x 7! ch(x) + C

R

x 7! ch(x)

x 7! sh(x) + C

R

cos(x) + C

x 7!

1 x2 +1

x 7! arctan(x) + C

R

x 7!

p 1
1 x2

x 7! arcsin(x) + C

]

1, 1[

TABLE 5.1 – Rappel de quelques primitives de