Oscillations d’un objet ` fond sph´rique. a e
Il existe de nombreuses variantes ` cet exercice : demi-sph`re, sph`re lest´e, verre de b´b´ qui se a e e e e e redresse tout seul mais vid´ (qui a bien pu avoir cette id´e saugrenue ?), etc. Comme la physique se e e cache dans la mise en ´quation du mouvement et non dans la recherche du centre de gravit´ G ni dans e e le calcul du moment d’inertie J, nous donnerons ici une version capable de s’adapter ` tous les cas de a figure. En fin d’exercice et ` titre indicatif, nous montrerons dans un cas particulier comment placer G a et calculer J. Un objet quelconque de masse M est pos´ sur le sol par une face de forme sph´rique de centre C e e − − → de rayon R ; son centre de gravit´ G n’est pas confondu avec C et l’on note a = CG . e A l’´quilibre CG est bien ´videmment vertical ; le point de contact avec le sol est alors choisi comme e e origine O ; l’axe Oz est vertical ascendant et l’on se limite aux mouvements pour lesquels le centre de gravit´ reste dans le plan Ozx. On note J le moment d’inertie par rapport ` l’axe Gy e a − − → On note x l’abscisse du centre C et θ l’angle que fait CG avec la verticale descendante ; le sens → ˙→ positif de rotation dans le plan Ozx va de Oz vers Ox ; le vecteur rotation est donc − = θ − ; on note ω e y I le point de contact de la sph`re avec le sol (voir figure). On se limite ` l’´tude de mouvements de e a e roulement sans glissement.

Question 1 : ˙ Quel lien y a-t-il entre x, vitesse du centre C et la vitesse angulaire θ de la sph`re ? ˙ e En d´duire un lien entre x et θ. Ce dernier lien ´tait-il pr´visible ? e e e Le champ des vitesses du solide est tel que → → → − =− +− ∧− v C →I CI ω v soit, sans oublier l’hypoth`se de non glissement en I e → − → ˙→ ˙→ x− = 0 − R− ∧ θ− = Rθ− ˙→ ex ez ey ex

d’o` u

˙ x = Rθ ˙

On en d´duit par int´gration, sachant qu’` l’´quilibre le choix du param´trage entraˆ que x et θ e e a e e ıne sont nuls, la relation x = R θ. Ce qui est tout a