France septembre 2002 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; u , v ) d’unité graphique 4 cm. On note A et B les points d’affixes respectives 1 et i. À tout point M, distinct de A et d’affixe z, est associé le point M′ d’affixe Z (1 − i) ( z − i) définie par : Z = . z −1 1. a. Calculer l’affixe du point C′ associé au point C d’affixe − i. b. Placer les points A, B et C. 2. Soit z = x + i y où x et y désignent deux nombres réels. x 2 + y 2 −1 ( x − 1) 2 + ( y − 1) 2 − 1 a. Montrer l’égalité : Z = −i ( x − 1) 2 + y 2 ( x − 1) 2 + y 2 b. Déterminer l’ensemble E des points M d’affixe z telle que Z soit réel. c. Déterminer l’ensemble F des points M d’affixe z telle que Re(Z) soit négatif ou nul. 3. a. Écrire le nombre complexe (1− i) sous forme trigonométrique. (1 − i) ( z − i) b. Soit M un point d’affixe z, distinct de A et de B. Montrer que : ∈ IR * si et seulement s’il existe un entier k tel z −1 que (MA , MB) = c. d.

π + k π (k ∈ Z) 4 π Déterminer l’ensemble des points M vérifiant (MA , MB) = + 2 k π (k ∈ Z) 4
En déduire l’ensemble des points M vérifiant (MA , MB) =

π + k π (k ∈ Z). 4

CORRECTION
1. a.

(1 − i) (− i − i) 2 i (1 − i) 2 (i + 1) c'= = = =2 i +1 i +1 − i −1
Z=

2. a. Z= Z= Z= Z=

(1 − i) [ x + i ( y − 1)] (1 − i) [ x + i ( y − 1)][x − 1 − i y ] = x −1+ i y [ x − 1 + i y ][ x − 1 − i y ]

(1 − i) [ x ( x − 1) − i x y + i ( y − 1) (x − 1) + y ( y − 1)] ( x − 1) 2 + y 2 (1 − i) [ x 2 − x + y 2 − y + i (− x y + x y − y − x + 1)] (1 − i) [ x 2 − x + y 2 − y + i (− y − x + 1)] = 2 2 ( x − 1) + y ( x − 1) 2 + y 2 x 2 − x + y 2 − y + i (− y − x + 1) − i ( x 2 − x + y 2 − y ) − y − x + 1 ( x − 1) 2 + y 2 x 2 − 2 x + y 2 − 2 y + 1 − i ( x 2 + y 2 − 1) ( x − 1) 2 + ( y − 1) 2 − 1 x 2 + y 2 −1 = −i ( x − 1) 2 + y 2 ( x − 1) 2 + y 2 ( x − 1) 2 + y 2
Z est réel ⇔

b.

(1 − i) ( z − i) x 2 + y 2 −1 réel avec z ≠ 1 ⇔ z −1 ( x − 1) 2 + y 2

= 0 avec (x ; y) ≠ (1 ; 0)

⇔ x 2 + y 2 – 1 = 0 avec (x ; y) ≠ (1 ; 0) ⇔ OM =