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FONCTIONS POLYNOMES ET SECOND DEGREI. Fonctions polynômes
1. Définition
|1. On appelle fonction polynôme ou polynôme de degré n, [pic], toute fonction définie sur [pic], dont l’écriture peut se mettre sous la forme : |
|x ) a n x n + a n-1 x n-1 + … + a1 x + a0 où a0 , a1 , … , an sont n + 1 réels et an ≠ 0. |
|2. Le terme ap xp s'appelle monôme de degré p. On note n = deg(P), le degré du polynôme. |
|3. Deux polynômes non nuls sont égaux si, et seulement si, ils ont le même degré et si les coefficients de leurs termes de même degré sont égaux. |
Exemples :
- La fonction x ) 0 est la fonction polynôme nulle .
- Les polynômes de degré 0 : x ) k sont les fonctions constantes,
- Les polynômes de degré 1 : x ) a x + b , a ≠ 0, sont les fonction affines.
- Pour tout réel x, [pic] équivaut à : [pic].
Remarques :
- La fonction f définie par [pic] peut s’écrire après simplification : [pic] ; c’est donc une fonction polynôme de degré 2
- La fonction g définie par [pic] peut s’écrire après simplification : [pic] ; ce n’est pourtant pas une fonction polynôme car elle n’est pas définie sur [pic].
2. Racine d'un polynôme et factorisation d'un polynôme
a. Définition
On appelle racine d'une fonction polynôme P tout nombre a vérifiant : P(a) = 0.
Exemples : Les racines de la fonction polynôme P définie sur [pic] par : P(x) = (x – 1)(x+2) sont 1 et –2.
Remarque : Certaines fonctions polynômes n'ont aucune racine réelle. Par exemple [pic] qui est strictement positif.
b. Théorème admis
Si une fonction polynôme P à coefficients réels de degré n (n ≥ 1) a une racine réelle x = a, alors on peut factoriser P(x) par (x – a) , on a : P(x) = (x – a) Q(x) où Q est une fonction polynôme de degré n – 1.
Exemples :
[pic], [pic].
c. Méthode de la division
Si a est une