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Pages: 78 (19473 mots) Publié le: 3 mars 2011
MÉTHODES ET EXEMPLES EN MATHÉMATIQUES POUR LE BTS HÔTELLERIE
Michel CHARRIER 18 janvier 2008

2

Chapitre 1

Equations et polynômes du troisième degré
1.1
1.1.1

Définitions
Equation et polynôme du troisième degré

Equation Toute égalité de la forme ax3 + bx2 + cx + d = 0 où a, b, c, et d sont des coefficients réels, a étant non nul. On se propose de donner des méthodes de résolutiondans R dans le cas où une solution est "évidente". Polynôme du troisième degré à coefficients rationnels Toute expression de la forme : P (x) = ax3 + bx2 + cx + d où les coefficients sont des nombres rationnels (entiers ou fractions), le coefficient a étant non nul. Solution ou racine évidente Un réel α est solution évidente de l’équation ou racine du polynôme P si on peut avec un calcul simple montrerque : P (α) = aα3 + bα2 + cα + d = 0 En général α est un nombre simple : 1, 2, 3, −1, −2, −3 . . . Exemple : x3 + x2 + x − 3 = 0 a la solution évidente : α = 1 car P (1) = 0. Equations et polynômes à coefficients entiers, recherche des racines : le critère d’Eisenstein p On admet que si le rationnel est racine du polynôme P , alors p divise d et q divise a. (Les diviseurs sont ici positifs ou qnégatifs). p est racine, alors p divise −1 et q divise 2. Il en résulte que : p ∈ {−1; 1} et Exemple : P (x) = 2x3 − x2 + 2x − 1. Si q 1 1 1 q ∈ {−2; −1; 1; 2}. Les racines "évidentes" possibles sont donc : −1, − , et 1. On vérifie ensuite que seul P =0 2 2 2 1 donc que est racine. 2

1.1.2

Factorisation

Factoriser un polynôme P du troisième degré, c’est le mettre sous la forme d’un produit detrois facteurs du premier degré ou bien d’un produit d’un facteur du premier degré par un facteur du deuxième degré. Tout polynôme du troisième degré a au moins une racine réelle. 3

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CHAPITRE 1. EQUATIONS ET POLYNÔMES DU TROISIÈME DEGRÉ et 2x3 − x2 + 2x − 1 = (2x − 1)(x2 + 1).

Exemples : x3 − 6x2 + 11x − 6 = (x − 1)(x − 2)(x − 3)

Résultat admis : Si α est racine de P , alors P estfactorisable par (x − α). Par exemple x3 + x2 + x − 3 = 0 est factorisable par (x − 1) car P (1) = 0.

1.2

Méthodes de factorisation

Dans la suite on suppose qu’une racine évidente α a été déterminée. Les méthodes ci-dessous sont traitées uniquement sur des exemples.

1.2.1

Identification
x3 + x2 + x − 3 = (x − 1)(ax2 + bx + c)

On a vu que 1 est racine de P (x) = x3 + x2 + x − 3. Onpeut donc écrire P sous la forme : En développant : x3 + x2 + x − 3 = ax3 + bx2 + cx − ax2 − bx − c Par identification des coefficients de même degré, on obtient :   a=1   b−a=1  c−b=1   −c = −3 Soit finalement : x3 + x2 + x − 3 = ax3 + (b − a)x2 + (c − b)x − c

a = 1 , b = 2 et c = 3. Et on obtient la factorisation : x3 + x2 + x − 3 = (x − 1)(x2 + 2x + 3)

On doit ensuite se poser laquestion de la factorisation du trinôme x2 + 2x + 3 : il a un discriminant ∆ = −8 et n’est donc pas factorisable. La factorisation complète de P est donc : x3 + x2 + x − 3 = (x − 1)(x2 + 2x + 3) On peut vérifier en développant.

1.2.2

Algorithme de Horner

La méthode précédente peut se synthétiser sous la forme d’un tableau dit de Horner qui permet une recherche automatique des coefficients :

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1

−3 3

α=1

1

2

a=1

b=2

c=3

0

Dans ce tableau, les coefficients du polynôme P à factoriser sont placés à la première ligne, première case vide et dans l’ordre des degrés décroissants. La première case de la deuxième ligne est celle de la racine trouvée. Le coefficient a de la troisième ligne est le report du coefficient du troisième degré de P . On le multiplie par laracine et le résultat placé à la troisième case de la deuxième ligne. La somme de cette colonne donne b. On réitère avec b pour obtenir c. La somme de la dernière colonne doit être nulle sinon, soit un calcul est faux, soit la valeur de α utilisée n’est pas une racine.

1.3. EXERCICES ET ÉNONCÉS DE BTS

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1.2.3

Division de polynômes

Exemple : P (x) = x3 − 6x2 + 11x − 6 a pour...
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