Fonction polynôme du second degré :
Forme canonique
I) Introduction.
Soit g(x) = a(x - s)²+h.
Toute fonction polynôme du second degré peut s’écrire sous cette forme.
Le passage de la forme développée à la forme canonique n’est pas au programme de la classe de seconde, mais reconnaître la forme canonique d’une fonction polynôme de second degré donnée sous forme développée est au programme.
Exemple :
Soit la fonction polynôme définie sur I = [ 5 ;5] par u 3 ²

6

1.

Montrer que pour tout dans I,
On développe la forme proposée :
3

1

4=3

2

1

4=3 ²

3
6

4 .est la forme canonique de

1
3

4

3

6

1=u

.

L’intérêt de cette écriture est de permettre l’étude complète de la fonction polynôme g, c’est-à-dire d’en donner les variations et la courbe rapidement.

II) Etude générale, Tableau de variations, Courbe
La courbe de la fonction g est une parabole.
Quand elle admet un axe de symétrie, il s’agit de la droite d’équation

= s.

Remarque. Voir la résolution de l’exercice-type I ci-dessous pour le caractère symétrique de la courbe.

1) Supposons a strictement positif
Alors la fonction g est strictement décroissante sur tout domaine inclus dans l’intervalle
∞;
et strictement croissante sur tout domaine inclus dans l’intervalle ; ∞ .
Par conséquent, si la valeur appartient à l’ensemble de définition de g, alors g(s) vaut h et c’est le minimum absolu de g : pour tout différent de s, g( )>g(s)=h.

Tableau de variations de g.
On suppose que g est définie sur un intervalle

m

;

qui contient la valeur s :

s

M

(m)

(M)

(s)
Remarque :

(s) = h

On trouvera en fin de cette fiche la démonstration de ces résultats si nécessaire.

2) Supposons que a strictement négatif.
Alors la fonction g est strictement croissante sur tout domaine inclus dans l’intervalle
∞;
et strictement décroissante sur tout domaine inclus dans l’intervalle ; ∞ .
Par conséquent, si la valeur