SESSION 2001

PS1004

CONCOURS

COMMUNS

POLYlECHWIOUES

ÉPREUVE SPECIFIEE

- FILIÈRE psi

MATHÉMATIQUES
DUR& : 4 heures

1

Les calculatrices programmables et alphanumériques sont autorisées, sous réserve des conditions définies dans la circulaire no 99-186 du 1611.99 - BOEN no42 du 2511.99.

Cette épreuve comporte deux problèmes indépendants l’un de l’autre.

PROBLÈME

1

Etant donné une série convergente cuk (x), on note R, (x) = zuk (x) son reste d’ordre n, pour k20 k=n+l

n E N et on se propose d’étudier la série c Z?,(x). n20 PARTIE 1.1. On suppose que uk (x) = (- l)k Xk, où x E R.

1

1.1.1. Déterminer l’ensemble Z des x E R tels que la série c (- l)kxk converge et pr6ciser sa k20 somme s (- l)knk pour x E Z. k=O 1.1.2. En supposant que x E Z, expliciter R,(X), montrer que la série xR,(x) n20 converge et

calculer sa somme S(x) = s R, (x) . n=O Tournez la page S.V.P.

-2-

1.2. On conserve les notations du 1.1 : zQ(x)= (-l)V , Zh (n)= z(-lrx’ k=n+l pour n E N et on pose R,(n)=
-1 k+’

E(-lrxk. k=O On considère

par ailleurs la série C (-k

et on pose : r, = E ( ) k k21 k=n+l convergence de la série c r, et de calculer sa somme. ni20 Y

+1

pour n E N. On se propose d’établir la

1.2.1. Justifier la convergence de la série ET ( k2l -1 k+’ 1 et par suite l’existence de r, pour tout

nE N.

1.2.2. Soit (n,m) E N* avec n 5 m et ZO= [0, l[. 1.2.2.1. En remarquant que k=n =Z&(x)-R

m(x ) , montrer que pour tout x E ZOon a

l’inégalité : 1.2.2.2. L’entier n étant fixé, déduire en particulier de 1.2.2.1 que :

et par suite que rn =/

lo&-~(x)

k-

1.2.2.3. Retrouver ainsi la valeur (bien connue !) de ~-0. 1.2.2.4. Montrer que pour tout couple (m, x) E N x ZO on a l’inégalité :

1.2.2.5. Déduire en particulier de 1.2.2.4 que la somme 2 n=O j l. Rn-1 (X)dr admet une limite

lorsque 111 vers + 00. tend En déduire que la série c rn converge et calculer