Les ondes
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Propagation d’ondesIl existe bon nombre d’ouvrages de r´f´rence traitant de la propagation des ondes, voir ee par exemple [1, 2, 3, 4, 5]. L’objet de ces notes est d’en pr´senter quelques aspects, en e vue de l’´preuve de mod´lisation ` l’agr´gation. e e a e
Partie I
L’´quation des ondes en dimension 1 e
´ On appelle ´quation des ondes (lin´aire) l’EDP d’´volution, du second ordre en temps (t) e e e et en espace (x), 2 2 ∂tt u − c2 ∂xx u = 0 , ´ o` c est un nombre r´el positif donn´, homog`ne ` une vitesse. Cette EDP apparaˆ u e e e a ıt naturellement dans beaucoup de probl`mes physiques, dont on donne quelques exemples e ci-apr`s. e
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Quelques mod`les physiques e
Pour information on mentionnera entre { } la dimension des quanti´s physiques mises en e jeu, selon la table suivante symbole m l t T v f p e signification masse longueur temps temp´rature e vitesse force pression ´nergie e unit´ S.I. e kilogramme (kg) m`tre (m) e seconde (s) Kelvin (K) m.s−1 Newton, 1 N = 1 kg.m.s−2 Pascal, 1 P a = 1 kg.m−1 .s−2 Joule, 1 J = 1 kg.m2 .s−2
1.1
Cordes vibrantes
Le d´placement d’une corde en tension ob´it, au moins au premier ordre, ` une ´quation e e a e des ondes, comme l’avait d´j` montr´ D’Alembert au XVIII`me si`cle. Les param`tres ea e e e e
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physiques mis en jeu sont la densit´ lin´aire ρ0 {m.l−1 }, reli´e ` la densit´ ω0 (ou masse e e e a e −3 volumique {m.l }) par ρ0 = σ0 ω0 , o` σ0 {l2 } est la section de la corde, et T0 la tension initiale de la corde, nombre > 0 u homog`ne ` une force. e a Soit u(x, t) ∈ R3 le d´placement transversal de la corde ` l’instant t, par rapport ` e a a une position de r´f´rence x e1 ∈ R3 , x ∈ R. On suppose le d´placement longitudinal ee e n´gligeable. Autrement dit, le point situ´ en x e1 dans la position de r´f´rence se retrouve e e ee en w(x, t) = x e1 + u(x, t), et u(x, t) ⊥ e1 . Soit T (x, t) la tension de la corde en w(x, t). C’est un nombre positif tel qu’un morceau de corde [x, x + δx] (δx > 0)