Les ondes

Pages: 28 (6944 mots) Publié le: 25 mai 2013
Propagation d’ondes
Il existe bon nombre d’ouvrages de r´f´rence traitant de la propagation des ondes, voir ee par exemple [1, 2, 3, 4, 5]. L’objet de ces notes est d’en pr´senter quelques aspects, en e vue de l’´preuve de mod´lisation ` l’agr´gation. e e a e

Partie I

L’´quation des ondes en dimension 1 e
´ On appelle ´quation des ondes (lin´aire) l’EDP d’´volution, du second ordre entemps (t) e e e et en espace (x), 2 2 ∂tt u − c2 ∂xx u = 0 , ´ o` c est un nombre r´el positif donn´, homog`ne ` une vitesse. Cette EDP apparaˆ u e e e a ıt naturellement dans beaucoup de probl`mes physiques, dont on donne quelques exemples e ci-apr`s. e

1

Quelques mod`les physiques e

Pour information on mentionnera entre { } la dimension des quanti´s physiques mises en e jeu, selon la tablesuivante symbole m l t T v f p e signification masse longueur temps temp´rature e vitesse force pression ´nergie e unit´ S.I. e kilogramme (kg) m`tre (m) e seconde (s) Kelvin (K) m.s−1 Newton, 1 N = 1 kg.m.s−2 Pascal, 1 P a = 1 kg.m−1 .s−2 Joule, 1 J = 1 kg.m2 .s−2

1.1

Cordes vibrantes

Le d´placement d’une corde en tension ob´it, au moins au premier ordre, ` une ´quation e e a e desondes, comme l’avait d´j` montr´ D’Alembert au XVIII`me si`cle. Les param`tres ea e e e e

1

physiques mis en jeu sont la densit´ lin´aire ρ0 {m.l−1 }, reli´e ` la densit´ ω0 (ou masse e e e a e −3 volumique {m.l }) par ρ0 = σ0 ω0 , o` σ0 {l2 } est la section de la corde, et T0 la tension initiale de la corde, nombre > 0 u homog`ne ` une force. e a Soit u(x, t) ∈ R3 le d´placement transversal dela corde ` l’instant t, par rapport ` e a a une position de r´f´rence x e1 ∈ R3 , x ∈ R. On suppose le d´placement longitudinal ee e n´gligeable. Autrement dit, le point situ´ en x e1 dans la position de r´f´rence se retrouve e e ee en w(x, t) = x e1 + u(x, t), et u(x, t) ⊥ e1 . Soit T (x, t) la tension de la corde en w(x, t). C’est un nombre positif tel qu’un morceau de corde [x, x + δx] (δx > 0)soit soumis ` la force a T (x + δx, t) θ(x + δx, t) − T (x, t) θ(x, t) , o` θ(x, t) = ∂x w(x, t) est tangent ` la corde en w(x, t). u a 2 2 L’acc´l´ration de la corde au point w(x, t) est simplement ∂tt w(x, t) = ∂tt u(x, t). ee La relation fondamentale de la m´canique, ou loi de Newton (F = m γ) appliqu´e au e e morceau de corde [x, x + δx] s’´crit donc, pour la composante parall`le ` e1 : e e aT (x + δx, t) − T (x, t) = 0 , et pour la composante orthogonale ` e1 : a
x+δx

T (x + δx, t) ∂x u(x + δx, t) − T (x, t) ∂x u(x, t) =
x

2 ρ0 ∂tt u(y, t) dy .

Par suite, T (x, t) = T0 (t) est ind´pendant de x, et en faisant tendre δx vers 0 dans la e seconde ´quation, on obtient e 2 2 T0 ∂xx u = ρ0 ∂tt u . Si T0 est de plus suppos´ ind´pendant de t, on a bien une ´quation des ondes, avece e e c = T0 , ρ0

` condition que T0 soit effectivement positif (une corde qui n’est pas en tension s’affaisse a et ne peut pas pas vibrer!).

1.2

Barres ´lastiques e

` A l’inverse d’un corde, dans une barre ´lastique rigide, on peut ne consid´rer que les e e d´placements longitudinaux, c’est-`-dire qu’un point situ´ en x e1 dans la position de e a e r´f´rence se retrouve apr`scompression ou ´tirement en w(x, t) = x e1 + u(x, t) avec ee e e u(x, t) e1 . On d´finit encore T (x, t) la tension de la barre en w(x, t), mais cette fois elle n’a pas e de signe d´fini (la barre pouvant ˆtre indiff´remment en compression ou en ´tirement). e e e e Une loi de l’´lasticit´ affirme que pour faire varier de δl un morceau de longueur l0 il faut e e

2

une variation de tension δTproportionnelle ` δl/l0 . Quantitativement, on d´finit E0 le a e module d’Young du mat´riau tel que e δT = E0 σ0 δl . l0

Par d´finition, E0 est un nombre positif homog`ne ` une pression. En appliquant cette e e a loi ` un morceau [x, x + δx], qui devient [x + u(x, t), x + δx + u(x + δx, t)], on obtient a T (x, t) − T0 (x) = E0 σ0 d’o` ` la limite lorsque δx tend vers 0 : ua T (x, t) = T0 (x) + E0 σ0 ∂x u ....
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