Les ondes

Pages: 11 (2750 mots) Publié le: 24 décembre 2014
Chapitre 6

PROPAGATION D’UNE ONDE PLANE
DANS LE VIDE, EN L’ABSCENCE DE CHARGES

1


efinition d’une onde plane

Une onde plane est une onde dont l’amplitude est la mˆeme pour tout point situ´e dans un plan
normal a` la direction de propagation. Cela revient a` dire que les champs ´el´ectriques D et magn´etiques
H sont identiques en tous points du plan.

2

Onde plane depropageant suivant un axe (Oz)
Dans le vide et en l’abscence de charge, les 4 ´equations de Maxwell deviennent :


div E = 0



 rotE = − ∂ B
∂t

div B = 0



 rotB = µ ∂ E
0 0 ∂t

(1)

Les champs E et B ne d´ependent que de z et t, ce qui ´equivaut a` dire que plan d’ondes sont parall`eles
au plan xoy d’un tri`ede direct.
On a donc :
∂E
∂E
∂B
∂B
(2)
=
=
=
=0
∂x∂y
∂x
∂y
De plus, d’apr`es (1) :
div E = 0 ⇔

∂Ex ∂Ey ∂Ez
∂Ez
+
+
=0⇔
=0
∂x
∂y
∂z
∂z

(3)

∂Bz
=0
∂z

(4)

De mˆeme,
div B = 0 ⇔
D’autre part,

rotE = −

∂B
⇔∇×E =
∂t


∂x

∂y

∂z

Ex
× Ey =
Ez
1

∂Ez
∂y
∂Ex
∂z
∂Ey
∂x

y
x
− ∂E
= − ∂B
∂z
∂t
y
z
− ∂E
= − ∂B
∂x
∂t
x
z
− ∂E
= − ∂B
∂y
∂t

(5)

Avec (2) on trouve alors :





∂Ey
∂z
∂Ex
∂z
∂Bz
∂t

x
= − ∂B
∂t
y
= − ∂B
∂t
=0

En proc´edent de la mˆeme mani`ere pour l’´equation rotB =
On trouve que :
 ∂B
y
1 ∂Ex

 ∂z = − c2 ∂t
y
∂Bx
= c12 ∂E
∂z
∂t

 ∂Ez
=0
∂t
On rappel, au passage, que c =

2.1

√1

0 µ0

(6)
∂E
0 µ0 ∂t ,

(7)

.

Caract`
ere transversale de l’onde

Les ´equations (3) et (7) montrentque Ez ne d´epend ni de z ni de t, par cons´equent Ez est une
constante.
S’il n’y a pas de champs pr´e-existant,Ez = 0. De mˆeme, il r´esulte des ´equations (4) et (6) que Bz est
une constante. On a alors Bz = 0. On d´eduit donc que E et B sont contenus dans le plan d’onde.
Ils sont tous deux perpendicualires a` la direction de propagation : l’onde est dite transversale.

2.2

Relationentre les champs E et B

On tire des ´equations (6) et (7) que les composantes Ex et Ey sont ind´ependantes.
Il en est de mˆeme pour Bx et By . Par contre Ex est li´e a` By et Ey est li´e a` Bx . L’onde plane peut
donc ˆetre consid´er´ee comme la superposition de deux ondes ind´ependantes : (Ex ,By ) et (Ey ,Bx ).

2.3

Integration des ´
equations de propagation

Nous connaissons d´ej`a les´equations de propagation des champs E et B :
∆E −
∆B −

1
c2
1
c2

∂2E
∂t2
∂2B
∂t2

=0
=0

(8)

Avec les simplifications pr´ec´edentes, ces ´equations deviennent :
∂2E
∂z 2
∂2B
∂z 2

2.3.1




1
c2
1
c2

∂2E
∂t2
∂2B
∂t2

=0
=0

(9)


etermination de la composante (Ex (z, t))

L’´equation pour E devient :
∂ 2 Ex
∂z 2



1 ∂ 2 Ex
c2 ∂t22

=0

(10)

Calcul des d´
eriv´
ees premi`
eres
La diff´erentielle totale exacte de Ex s’´ecrit :
dEx =
Posons u = t −

z
c

∂Ex
dz
∂z

+

∂Ex
dt
∂t

(11)

et v = t + zc , alors :
t = 21 (u + v)
v = 12 (u − v)
x
x
du + ∂E
dv
dEx = ∂E
∂u
∂v
x
x
dEx = ∂E
(dt − dzc ) + ∂E
(dt + dzc )
∂u
∂v
x
x
x
x
+ ∂E
)dt + 1c ( ∂E
− ∂E
)dz
dEx = ( ∂E
∂u
∂v∂v
∂u

(12)

Ce qui revient a` ´ecrire, par identification entre les ´equations (11) et (12) :
∂Ex
∂t
∂Ex
∂z

P =
Q=
Calcul des d´
eriv´
ees secondes
La diff´erentielle de P s’´ecrit :

dP =
dP =

x
x
= ∂E
+ ∂E
∂u
∂v
x
x
= 1c ( ∂E
− ∂E
)
∂v
∂u

(13)

∂P
dz + ∂P
dt
∂z
∂t
2
∂ Ex
∂ 2 Ex
dz + ∂t2 dt
∂z∂t

(14)

De mˆeme que pr´ec´edement, on peut´ecrire :
dP = ( ∂P
+ ∂P
)dt + 1c ( ∂P
− ∂P
)dz
∂u
∂v
∂v
∂u
∂ 2 Ex
∂P
∂ ∂Ex
∂P
x
⇔ ∂t2 = ∂u + ∂v = ∂u ( ∂u + ∂E
)+
∂v
2
2
2
∂ Ex
∂ Ex
∂ Ex
= ∂u2 + 2 ∂u∂v + ∂v2

∂ ∂Ex
(
∂v ∂u

+

∂Ex ∂ 2 Ex
) ∂t2
∂v

(15)

En effectuant le mˆeme cheminement pour Q, on trouve :
∂ 2 Ex
∂z 2

=

1 ∂ 2 Ex
(
c2 ∂u2

2

Ex
+
− 2 ∂∂u∂v

∂ 2 Ex
)
∂v 2

(16)...
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