les probabilités
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Les probabilitésI Expérience aléatoire
A L’univers
Définition :
On appelle expérience aléatoire une expérience dont le résultat n’est pas prévisible de façon certaine.
Exemple :
Le lancer d’un dé équilibré à 6 faces constitue une expérience aléatoire : il existe 6 résultats possibles, dont aucun n’est prévisible de façon certaine.
Définition :
On appelle univers d’une expérience aléatoire, noté Ω (« oméga »), l’ensemble des résultats possibles de l’expérience.
Exemple :
L’univers de l’expérience aléatoire consistant à lancer un dé à 6 faces est :
Ω = {1,2,3,4,5,6}
B Les évènements
Définition :
Soit Ω l’univers d’une expérience aléatoire.
On appelle évènement élémentaires tous les résultats
ω1, ω2, …, ωn composant l’ensemble Ω.
Définition :
Un évènement A est une partie de Ω, c’est-à-dire une réunion de certains évènements élémentaires.
Propriétés :
Deux évènements sont dits incompatibles s’ils ne peuvent pas se produire simultanément.
Propriétés :
On appelle évènement contraire de l’évènement a, noté Ā, l’ensemble des éléments de Ω qui ne sont pas dans A.
II Probabilité sur un ensemble fini
A La probabilité d’un évènement
Définition :
Soit un évènement A.
La probabilité de A, notée P(A), est égale à la somme des probabilités des évènements élémentaires qui constituent l’évènement A.
Propriétés :
P(Ω) = 1
P(Ø) = 0
B La réunion d’évènements
Théorème :
Soient A et B deux évènements incompatibles :
P(A∪B) = P(A) + P(B)
Théorème :
Soient A et B deux évènements :
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
C L’évènement contraire
Théorème :
Soit un évènement A.
La probabilité de son évènement contraire est égale à :
P(Ā) = 1 – P(A)
D L’équiprobabilité
Définition :
On appelle situation équiprobable une expérience où tous les évènements de Ω ont la même probabilité d’être réalisés.
Théorème :
En situation d’équiprobabilité, la probabilité d’un évènement de A est égale à :
P(A) =