Définition
Un repère orthonormé (ou orthonormal) est un ensemble de deux axes, (xx') et (yy'), gradués avec la même unité (OI = OJ = 1 unité), perpendiculaires et ayant la même origine O.
On le note (O ; I ; J)
M a pour abscisse xM = 2 et pour ordonnée yM = 3.
On note ses coordonnées M(2 ; 3)

Règle :

Exemple
Soient A (2 ; 2) et B (5 ; 4), calculer les coordonnées de M milieu de [AB]

M (3,5 ; 3)O.
On le note . ► La droite (OI) est l’axe des abscisses.
► La droite (OJ) est l’axe des ordonnées.

Repère orthogonal et orthonormal

Si les axes (OI) et (OJ) sont perpendiculaires, alors est un repère orthogonal.

Si les axes (OI) et (OJ) sont perpendiculaires, et qu’en plus OI = OJ alorsest un repère orthonormal (ou orthonormé).

Exemple

Sur une carte, on peut repérer un point par sa latitude et sa longitude.

Coordonnées d'un vecteur 1

Soient . Alors les coordonnées du vecteur AB se calculent avec la formule suivante :

Exemple :

Si A(2 ; -1) et B(3 ; 1) ; alors :

Coordonnées d'un vecteur 2

Si M (x ; y) et si O est l'origine du repère, alors :

Exemple :

Si M (2 ; 3) alors :

Coordonnées de la somme et du produit

Exemple :

Coordonnées et égalité

Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées respectives sont égales.

Exemple :

Trouver les coordonnées du point M(x ; y)

Formule de la distance

Si le repère est orthonormé alors la distance entre les points A(XA ; YA) et B(XB ; YB) est donné par la formule :

Exemple

Dans un repère orthonormé, on donne les points suivants :

B(-1 ; 3) et C(2 ; -1)

Alors, la distance BC vaut :

Coordonnées du milieu

Si I est le milieu du segment [AB] ; alors, les coordonnées du point I sont données par la formule suivante :

Exemple :Soient K(4 ; –2), D(–1 ; 3) et M le milieu de [KD] dans une repère orthonormé.

Calculer les coordonées du point