CHAPITRE 1
SÉRIES NUMÉRIQUES

1.1

Généralités

Définition 1.1.1
Soit (un )n une suite de nombres réels, on pose : n Sn = u0 + u 1 + . . . + u n =

uk . k=0 La limite de Sn est appelée série de terme général un .
(Sn )n est appelée suite des sommes partielles de la série.
Notation
Une série de terme général un est notée

1.2

un

Convergence



ou 

n≥0



un .

Définition 1.2.1
Une série de terme général un est dite convergente si la suite des sommes partielles (Sn )n est convergente. Dans ce cas, la limite de la suite (Sn )n est appelée somme de la série et on note :
+∞

lim Sn =

n→+∞

un n=0 Une série qui n’est pas convergente est dite divergente.
En d’autres termes, si on note ℓ = lim Sn on a alors : n→+∞ 



 un  converge vers ℓ ⇐⇒ lim Sn = ℓ

n→+∞ n≥ ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃N ∈ N : ∀n ∈ N(n
 ≥ N =⇒ |Snn− ℓ| < ε)



⇐⇒ ∀ε > 0, ∃N ∈ N : ∀n ∈ N n ≥ N =⇒ un − ℓ < ε. k=0 1

Exemple 1.2.1
1) Série géométrique. Une série géométrique est une série dont le terme général est de la forme un = a.qn , a 0.
Pour ce type de série, le calcul de la somme partielle est donné par la formule suivante :
Sn = u0 + u1 + · · · + un = a + a.q + a.q2 + · · · + a.qn = a(1 + q + q2 + · · · + qn )
 1 − qn+1


a
si q 1
=
1−q

 a(n + 1) si q = 1.
On remarque ainsi que lim Sn existe si et seulement si |q| < 1. Dans ce cas la série géométrique n→+∞ +∞

a.qn = a

converge et on a n=0 a
1
=
.
1−q 1−q

1
2) Série harmonique. C’est la série dont le terme général est de la forme un = où n ∈ N∗ . n Montrons que cette série n’est pas convergente. Pour cela montrons qu’elle n’est pas de Cauchy.
1 1
1
En effet, posons Sn = + + · · · + ·
1 2 n 1 1
1
1
1
1
1 1
+ + ··· + +
+ ··· +
+ + ··· +
−
Alors S2n − Sn =
1 2 n n+1
2n
1 2 n 1
1
1
=
+
+ ··· + . n+1 n+2
2n
Or pour tout p ∈ N, 1 ≤ p ≤ n, on n + 1 ≤ p + n ≤ 2n et par suite