LES NOMBRESChapitre 19 : variables aléatoires continues
Les compétences à atteindre dans ce chapitre sont :
Variables aléatoires continues
Démontrer qu'une fonction donnée est une densité de probabilité
I étant un intervalle donné, interpréter p(X ∈ I ) en terme d'aire
Loi uniforme
Connaître la densité de probabilité d'une loi uniforme sur un intervalle donné
X suivant une loi uniforme sur un intervalle [a ;b ] , et u et v étant deux réels donnés, calculer : p(u⩽X⩽v) p(X >u) p(X⩽v) E (X )
Loi …afficher plus de contenu…

Exprimer en fonction de x l'intégrale : ∫
1
x k (t )d t .
b) En déduire la valeur de : ∫
1
+∞ k (t )d t .
c) Justifier que k est une densité de probabilité sur l'intervalle [1;+ ∞[ .
Définition : soit I un intervalle quelconque de ℝ et f une densité de probabilité sur I.
Soient u et v deux réels quelconques de I tels que : u⩽v .
Soit X la variable aléatoire prenant ses valeurs dans I et telle que : p(u⩽X⩽v)=∫ u v f ( t )d t .
On dit alors que X suit la loi de probabilité de densité f sur I . Une telle variable aléatoire est dite continue.
Remarque : la probabilité p (u⩽ X⩽v) est égale à l'aire, en unités d'aire, du domaine situé entre l'axe des abscisses, les droites d'équation x=u et x=v , et la courbe représentative de la fonction …afficher plus de contenu…

Ceci prolonge l'équiprobabilité dans le cas des variables aléatoires discrètes.
On remarque dans l'exercice F que : E (X )=2+7
2
; et : p(3<X <5)= 5−3
7−2
. Ceci met en évidence les deux propriétés suivantes.
Propriété : soient a et b deux réels quelconques tels que : a< b .
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [a ;b ] .
Si u et v sont deux réels quelconques de [a ;b ] tels que : u⩽v ; alors on a : p(u⩽X⩽v)=v−u b−a .
Remarque : X étant une variable aléatoire continue, on a : p(X=u)= p( X=v)=0 ; on peut donc aussi remplacer les inégalités larges par des inégalités strictes dans le calcul p (u⩽X⩽v)