limite

Pages: 6 (1467 mots) Publié le: 1 janvier 2015
Fonctions : limites et continuité

Terminale S

Exercices d’entrainement pour le chapitre 03 (limites et continuité)
0.1

Énoncés
Exercice 5. Démontrer que, dans chacun des cas suivants, la courbe Cf admet une asymptote parallèle
à l’axe des abscisses :

1. f : x −→

3x2 − 2
sur R
x2 + 1

2. f : x −→

2 − 3x
sur R
+x+1

x2

Exercice 6. Soit f la fonction définie sur R∗par :
f (x) =

x2 + 3x + 2
x

Démontrer que la droite D d’équation y = x + 3 est une asymptote à la courbe Cf en +∞ et en −∞
1 + 2 sin x

sur ]0; +∞[
1+ x
1
3
√ ≤ f (x) ≤

1. Démontrer que, si x > 0 alors −
1+ x
1+ x

Exercice 9. Soit f (x) =

2. En déduire que f admet une limite en +∞ dont on précisera la valeur.

Exercice 11. Soit f une fonction décroissante sur ]0; +∞[telle que : lim f (x) = 0.
x→+∞

Démontrer que, pour tout x ∈

R+

on a f (x) ≥ 0.

Exercice 19. Déterminer le nombre de solutions non nulles de chacune des équations suivantes et en
donner un encadrement d’amplitude 10−2 .
2. x2 = sin x

Exercice 21. Soit f une fonction continue et définie sur l’intervalle [0; 1] et à valeurs dans l’intervalle
[0; 1]. Démontrer que f admet (au moins)un point fixe dans [0; 1] ie ∃c ∈ [0; 1] tel que f (c) = c
(Indication : on pourra utiliser une fonction annexe crée à partir de f ).

Roussot

1

2011 / 2012

Fonctions : limites et continuité

0.2

Terminale S

Solutions rédigées
Exercice 5.
3x2

−2
1. Pour x = 0 : 2
=
x +1

2
x2
1
1+ 2
x

x2 3 −
x2

2
2
x
=
1
1+ 2
x
3−

2
1
= 0 = lim 2 .
2
x→±∞
xx
3
Donc lim f (x) = = 3 : ainsi Cf admet la droite y = 3 comme asymptote horizontale en +∞
x→±∞
1
et en −∞.
2
2
1
x
−3
−3
2 − 3x
x
x
2. Pour x = 0 : 2
=
=
x
1
1
1
x +x+1
x2 1 + 2 + 2
x 1+ + 2
x
x
x x
2
1
1
Or lim
= 0 = lim
= lim 2 .
x→±∞ x
x→±∞ x
x→±∞ x
−3
Donc lim f (x) = 0 ×
= 0 : ainsi Cf admet la droite y = 0 comme asymptote horizontale
x→±∞
1
en +∞et en −∞.
Or lim

x→±∞

Exercice 6. Soit f la fonction définie sur R∗ par :
f (x) =

x2 + 3x + 2
x

Étudions les limites en +∞ et en −∞ de f (x) − (x + 3).
Pour x ∈ R∗ :

x2 + 3x + 2
x2 + 3x + 2 − x(x + 3)
x2 + 3x + 2 − x2 − 3x
2
− (x + 3) =
=
=
x
x
x
x
2
2
Donc lim (f (x) − (x + 3)) = lim
= 0 et lim (f (x) − (x + 3)) = lim
= 0.
x→+∞
x→+∞ x
x→−∞
x→−∞ x
Conclusion: la droite D d’équation y = x + 3 est une asymptote à la courbe Cf en +∞ et en −∞.

f (x) − (x + 3) =

Exercice 9. Soit f (x) =

1 + 2 sin x

sur ]0; +∞[
1+ x

1. Soit x ∈]0; +∞[, on a : −1 ≤ sin(x) ≤ 1 =⇒ −2 ≤ 2 sin(x) ≤ 2 =⇒ −1 ≤ 1 + 2 sin(x) ≤ 3

−1
1 + 2 sin x
3
√ ≤

√ (car 1 + x > 0)

=⇒
1+ x
1+ x
1+ x

−1

√ =0
 lim


x→+∞ 1 + x
2. On a : lim
x = +∞=⇒ lim 1 + x = +∞ =⇒
3
x→+∞
x→+∞

 lim
√ =0
x→+∞ 1 + x
Ainsi, d’après le théorème des gendarmes, lim f (x) = 0.
x→+∞

Exercice 11. On va montrer par l’absurde que ∀x ∈ R+ on a f (x) ≥ 0 : ainsi on suppose qu’il existe
a ∈ R+ tel que f (a) < 0.
Comme f est décroissante sur ]0; +∞[ donc aussi sur ]a; +∞[, ainsi pour tout x ≥ a, f (x) ≤ f (a) < 0.
De plus lim f (x) = 0, donc pourtout ε > 0, il existe B ∈ R, ∀x ∈ Df , x > B =⇒ f (x) ∈] − ε; ε[.
x→+∞

Roussot

2

2011 / 2012

Fonctions : limites et continuité

Terminale S

−f (a)
f (a)
−f (a) −f (a)
−f (a)
ie
. Ainsi pour x > B, f (x) ∈ −
;
< f (x) <
.
2
2
2
2
2
f (a)
f (a)
< f (x) ≤ f (a) =⇒ 0 <
=⇒ 0 < f (a) : absurde.
Par conséquent, pour x > max(a; B) :
2
2
Conclusion : ∀x ∈ R+ on a f (x)≥ 0.

On choisit ε =

Exercice 19. Déterminer le nombre de solutions non nulles de chacune des équations suivantes et en
donner un encadrement d’amplitude 10−2 .
2. x2 = sin x
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x2 − sin(x).
On cherche le nombre de solutions non nulles à l’équation f (x) = 0 dans R.
On remarque que f (0) = 02 − sin(0) = 0 − 0 = 0 : 0 est donc une solution de f...
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