Fonctions : limites et continuité

Terminale S

Exercices d’entrainement pour le chapitre 03 (limites et continuité)
0.1

Énoncés
Exercice 5. Démontrer que, dans chacun des cas suivants, la courbe Cf admet une asymptote parallèle à l’axe des abscisses :

1. f : x −→

3x2 − 2 sur R x2 + 1

2. f : x −→

2 − 3x sur R
+x+1

x2

Exercice 6. Soit f la fonction définie sur R∗ par : f (x) =

x2 + 3x + 2 x Démontrer que la droite D d’équation y = x + 3 est une asymptote à la courbe Cf en +∞ et en −∞
1 + 2 sin x
√
sur ]0; +∞[
1+ x
1
3
√ ≤ f (x) ≤
√
1. Démontrer que, si x > 0 alors −
1+ x
1+ x

Exercice 9. Soit f (x) =

2. En déduire que f admet une limite en +∞ dont on précisera la valeur.

Exercice 11. Soit f une fonction décroissante sur ]0; +∞[ telle que : lim f (x) = 0. x→+∞ Démontrer que, pour tout x ∈

R+

on a f (x) ≥ 0.

Exercice 19. Déterminer le nombre de solutions non nulles de chacune des équations suivantes et en donner un encadrement d’amplitude 10−2 .
2. x2 = sin x

Exercice 21. Soit f une fonction continue et définie sur l’intervalle [0; 1] et à valeurs dans l’intervalle
[0; 1]. Démontrer que f admet (au moins) un point fixe dans [0; 1] ie ∃c ∈ [0; 1] tel que f (c) = c
(Indication : on pourra utiliser une fonction annexe crée à partir de f ).

Roussot

1

2011 / 2012

Fonctions : limites et continuité

0.2

Terminale S

Solutions rédigées
Exercice 5.
3x2

−2
1. Pour x = 0 : 2
=
x +1

2 x2 1
1+ 2 x x2 3 − x2 2
2
x
=
1
1+ 2 x 3−

2
1
= 0 = lim 2 .
2
x→±∞ x x
3
Donc lim f (x) = = 3 : ainsi Cf admet la droite y = 3 comme asymptote horizontale en +∞ x→±∞ 1 et en −∞.
2
2
1
x
−3
−3
2 − 3x x x
2. Pour x = 0 : 2
=
= x 1
1
1 x +x+1 x2 1 + 2 + 2 x 1+ + 2 x x x x
2
1
1
Or lim
= 0 = lim
= lim 2 . x→±∞ x x→±∞ x x→±∞ x
−3
Donc lim f (x) = 0 ×
= 0 : ainsi Cf admet la droite y = 0 comme asymptote horizontale x→±∞ 1 en +∞