cours maths 3 \(2i\350me S.T.\)Table des matières
1 Intégrales simples et multiples 5
1.1 Intégrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Subdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Sommes de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.4 Propriétés de l’intégrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Primitive d’une …afficher plus de contenu…

Remarque 1.3 La variable d’intégration x dans b∫ a f (x) dx est une variable muette, c’est- à-dire elle peut être remplacée par n’importe quelle autre variable, et dx est la mesure de
Lebesgue.
Proposition 1.1 (Critère d’intégrabilité de Riemann) une fonction f est Riemann- intégrable sur [a, b] ssi pour tout ε > 0, il existe une subdivision X ∈ Sa,b telle que
S (f, d)− s (f, d) < ε.
Théorème 1.1 Toute fonction monotone ou continue sur un intervalle [a, b] est Riemann- intégrable. 1.1.3 Sommes de Riemann
Les sommes de Darboux ne sont pas très utiles pour le calcul effectif d’une intégrale, par exemple à l’aide d’un ordinateur, car il est en général assez difficile de trouver les inf et sup sur les sous-intervalles. On considère plutôt sn (f ) …afficher plus de contenu…

1.4.3 Changement de variables dans les intégrales triples
Considérons le changement de variables x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v,w)
Soit l’intégrale triple
∫∫∫
V f(x, y, z)dxdydz étendue au domaine V de l’espace oxyz.
21Considérons aussi le changement de variable



x = x(u, v, w) y = y(u, v,w) z = z(u, v, w)
Supposons que ce dernier
1) Le changement de variable établit une correspondance biunivoque entre les domaines V et R.
2) x(u, v, w), y(u, v,w) et z(u, v,w) admettent des dérivées partielles continues.
3) La jacobienne J =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂x
∂u
∂x
∂v
∂x
∂w
∂y
∂u
∂y
∂v
∂y
∂w
∂z
∂u
∂z
∂v
∂z
∂w
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
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