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1002 mots 5 pages
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Dérivation
Nombre dérivéLimite finie d'une fonction en 0.Soit f une fonction définie sur D tel que 0 est à l'intérieur de D ou est une borne de D.
On dit que f a pour limite le nombre l lorsque x tend vers 0 et on écrit si les nombres f(x) peuvent devenir aussi proches de l qu'on le désire pour x suffisamment proche de 0.

Exemple : en effet pour que 5 + 2x soit compris entre 5 – e et 5 + e, c'est à dire
5 – e < 5 + 2x < 5 + e, il suffit de choisir x entre – e/2 et e/2.

Fonction dérivable en un pointSoit f une fonction et a un point de son ensemble de définition.
Dire que la fonction f est dérivable en a signifie que la fonction qui à h associe admet une limite finie lorsque h tend vers 0.
Cette limite est le nombre dérivé de f en a, on la note f '(a).
Exemple :
Soit f la fonction définie par f(x) = x² - 2. Montrons que f est dérivable en 2 et calculons f'(2). et .
On en déduit que f est dérivable en 2 et que f '(2) = 4.

Interprétation graphique du nombre dérivéSoit f une fonction dérivable en a . On appelle C la représentation graphique de f dans un repère. La courbe C admet une tangente au point d'abscisse a et f '(a) est le coefficient directeur de cette tangente.
Une équation de la tangente au point d'abscisse a est y = f '(a)(x – a)+ f (a).
Exemple

Soit f la fonction définie par f(x) = x² – 2.
Cette fonction est dérivable en 2 et f '(2) = 4.
L'équation de la tangente en 2 est y = f '(2)(x – 2) + f(2) soit y = 4(x – 2) + 2 soit y = 4x – 6.
La fonction est une approximation affine de la fonction au voisinage de 2.
Pour x proche de 2, 4x – 6 et x² – 2 donnent des résultats très voisins.

Fonctions dérivées des fonctions usuellesSoit f une fonction dérivable sur D.
La fonction qui à x associe f '(x), le nombre dérivé de f en x, est appelée fonction dérivée de f sur D et on la note f '.

Le tableau suivant donne les fonctions dérivées des fonctions usuelles.

Fonction constante | ℝ | k | 0 |

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