LOI BINOMIALE
I) Introduction La probabilité qu'un tireur atteigne sa cible est p =

3 . 4

1. On suppose qu'il fait deux tirs et on note X la variable aléatoire associant à cette épreuve le nombre de succès obtenus. (X = 0, 1 ou 2) a) Calculer la probabilité des événements [X = 0], [X = 1] et [X = 2]. (On pourra s'aider d'un arbre "pondéré" et on désignera par S les succès et E les échecs).
2

b) Calculer k =0

2. On suppose maintenant qu'il fait six tirs et on note Y le nombre de succès obtenus. (Y ∈ {0 ; 1 ; ... ; 6}) On voudrait calculer la probabilité de l'événement [Y = 4]. a) Peut-on encore raisonner à l'aide d'un arbre ? b) Calculer la probabilité qu'il commence par quatre succès suivis de deux échecs. c) Mais les succès et les échecs n'apparaissent pas nécessairement dans cet ordre. Parmi les "mots" de six lettres qui ne contiennent que des S et des E, combien contiennent exactement quatre fois la lettre S ? d) En déduire la probabilité de l'événement [Y = 4].

II) Loi binomiale : définition

1) Définition Soit Ω l'univers associé à une expérience aléatoire. Soit X une variable aléatoire définie sur Ω.
¡

On dit que X suit une loi binomiale de paramètres n ∈ • X(Ω) = {0 ; 1 ; ... ; n}

On note parfois X Remarque : on a bien :

P([ X = k ]) = k =0 k =0

loi est dite "binomiale". 2) Théorème
¢

Soit

une épreuve comportant deux issues (Succès et Echec). On note p la probabilité de Succès. . Soit X la variable aléatoire correspondant au nombre de
¢

On répète n fois, de façons indépendantes, l'épreuve succès. Alors :

X suit une loi binomiale de paramètres n et p

Démonstration : en généralisant le raisonnement vu en introduction (I.2.b)c)d)): La probabilité d'avoir k succès suivis de n − k échecs est : p k (1 − p) n− k

Loi binomiale

P([ X = k ]) .

*

et p ∈ [0 ; 1] lorsque :

k • pour tout k ∈ {0 ; 1 ; ... ; n}, P([X = k]) = Cn p k (1 − p)

n− k

B(n ; p). n n k Cn p k (1 − p) n− k

= p +