Mécanique des fluide

Pages: 57 (14182 mots) Publié le: 23 novembre 2010
Cours de Mécanique des fluides

J.ROUSSEL C.P.I.2 - Chem.I.St2 : 2005-2006

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c Jimmy Roussel

Table des matières

1

Cinématique des fluides 1.1 1.2 1.3 L’état fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Description d’un fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 5 7 11 15 15 21 23 25 25 29 33 33 37 39 43 43 46

2

Dynamique des fluides Newtoniens 2.1 2.2 2.3 Bilan des forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L’équation de Navier-Stokes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .

3

Fluides en équilibre 3.1 3.2 Fluide au repos dans un champ de pesanteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Théorèmes de Bernoulli - Applications 4.1 4.2 4.3 Écoulement parfait stationnaire incompressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Écoulements irrotationnels .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème de Bernoulli généralisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Écoulements visqueux 5.1 5.2 Écoulement de poiseuille. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Force de traînée sur un obstacle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

4 6 Phénomènes de tension desurface 6.1 6.2

Table des matières 49 49 54 57 57 63 65 65 66 69

Notion de tension superficielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème de Laplace et loi de Jurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A Formulaire mathématique A.1 Opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B Interprétation énergétiquedu théorème de Bernoulli. C Démonstrations du théorème de Laplace et de la loi de Jurin. C.1 Théorème de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.2 Loi de Jurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D Diagramme de Moody

c Jimmy Roussel

Chapitre 1

Cinématique des fluides
Dans ce chapitre, nous allons étudier lefluide et son écoulement indépendamment des forces responsables de cet écoulement.

1.1 L’état fluide
1.1.1 Propriétés d’un fluide
L’état fluide caractérise un état de la matière. Les liquides, les gaz ainsi que les plasma (gaz de particules chargées) ont les propriétés d’un fluide. Pour décrire l’état fluide adoptons deux points de vue : point de vue macroscopique : Un fluide est un système déformablesans forme propre.
◦ L’état liquide : les liquides sont des fluides très peu compressibles et ont donc un volume propre.

En première approximation on pourra considérer la masse volumique invariable : Approximation : µ ≈ constante

ce qui revient à considérer que la compressibilité ainsi que le coefficient de dilatation est nulle : χT = − α= 1 ∂V V ∂P =
T

1 ∂µ µ ∂P 1 ∂µ µ ∂T

T

≈ 0Pa−1 ≈ 0 K−1

1 ∂V V ∂T

P

=−

P

Bien sûr, ces grandeurs ne sont pas nulles mais faibles. On retiendra que rigoureusement α = α(T, P ) et χT = χT (P, T ) mais que pour de faibles variations de pression (quelques bar) et de faibles variations de température (100 ◦ C) la masse volumique est quasi constante (sauf si l’on passe par une transition de phase). 5

6

Chapitre 1. Cinématiquedes fluides Exemple : pour l’eau la compressibilité vaut χ T ≈ 4, 4.10−10 Pa−1 à 20 ◦ C. Cela signifie qu’il faut
1 T ).

augmenter la pression de 227 bars pour voir la masse volumique augmenter de 1%. Les liquides ont un coefficient de dilatation très faible (α que α ≈ constante. Par exemple le mercure α ≈ 16.10 −5 K −1 à 6000 atm et à 283 K. parfait, on a :

Quand on en tient compte on...
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