Méthode lafay

Pages: 7 (1709 mots) Publié le: 18 mars 2013
1ère STMG

Cours

Suites numériques
En première approche, on peut comprendre les suites numériques comme des successions de nombres indicés. Par exemple la suite 12 ; 4 ; 17 ; 6… a pour premier terme 12, deuxième terme 4, troisième terme 17, quatrième terme 6, etc. Les suites sont des outils mathématiques pour modéliser les phénomènes évolutifs discrets ; c'est-à-dire des évènements quisurviennent de manière espacée dans le temps (et de manière régulière). Citons par exemple les intérêts bancaires qui tombent tous les ans ou le nombre d’atomes de carbone 14 qui est divisé par deux tous les 5 568 années. En outre, on peut utiliser ce modèle lorsqu’on « découpe » un modèle continu pour faciliter son étude. Citons par exemple les phénomènes de dépréciation des biens, les études depression par pallier, de dispersion journalière d’une épidémie, etc. Nous allons tout d’abord définir rigoureusement la notion de « suite numérique ». Puis nous étudierons comment générer ces suites, par expression ou par récurrence. Enfin, nous terminerons par l’étude de deux familles particulières de suites, les suites arithmétiques et les suites géométriques.

I. Notion de suite numérique : Commeénoncé précédemment, une suite numérique peut être comprise en première approche comme une succession de nombres. C'est-à-dire qu’à chaque position n, se trouve un seul nombre un. Autrement dit, à chaque numéro entier, on peut lui associer le nombre qui a cette position dans la suite.
Exemple : considérons la suite 16 ; 32 ; 64 ; 128 ; 256 ; 512 ; 1024 ; … Le 1er terme est 16, le 5ème est 256,le 7ème est 1024. A chaque nombre entier, on lui associe la valeur du terme qui a cette place dans la suite.

Nous avons donc un processus qui, à tout nombre entier naturel associe un unique nombre réel. On vient tout simplement de définir une fonction, sauf qu’ici la variable ne prend que des valeurs entières. Pour l’indiquer, on notera la variable n, au lieu de x, et on préfèrera alors parlerd’indice ou de rang.

Définition : Une suite numérique u est une fonction de u:n|

dans . u(n) = un

L’image u(n) sera plus simplement noté un. On l’appellera le terme de rang n ou d’indice n. La suite des termes un s’appelle u et elle est notée (un). On fera donc bien la distinction entre un qui représente le terme qui a un rang n quelconque et (un) qui représente tous les termes de la suite.La valeur du premier terme est appelée valeur initiale.

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Par définition, le premier terme est u0, le deuxième est u1, etc. Il faudra alors être attentif à ce décalage entre indice et position.
Exemple : Reprenons l’exemple de la suite 16 ; 32 ; 64 ; 128 ; 256 ; 512 ; 1024 ; … Nommons la u. Le premier terme est u0 = 16, le deuxième terme u1 = 32, le troisième u2 = 64…Remarque : On peut définir une suite à partir du rang 1 pour éviter de problème de « décalage d’indice ». C’est alors une fonction définie de ℕ* (tous les entiers naturels sauf 0) dans ℝ.

II. Génération de suites numérique : Il existe plusieurs méthodes pour générer des suites numériques. Celles que nous étudierons sont purement constructives. En particulier nous étudierons comment générer unesuite grâce à une expression (on n’oublie pas qu’une suite est une fonction très particulière) ou bien grâce à une relation de récurrence (de « proche en proche », de « terme à terme »).
• • • • • A titre d’information, voici une liste non exhaustive d’autres méthodes pour générer des suites : de manière aléatoire (pensez à la playlist de votre lecteur MP3) ; de manière peu prévisible mais nonaléatoire (par exemple le quintet d’une course) ; de manière explicite sans avoir de formule (par exemple la suite des nombres premiers) ; de manière statistique (par exemple le relevé des températures jour après jour) ; etc.

1. Suite définie par l’expression de un en fonction de l’indice n : Comme une suite numérique est un cas particulier de fonction numérique (la variable ne prend que des...
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