UE7 - MA5 : Analyse

INTEGRALES GENERALISEES
I.

Généralités
Dans le chapitre précédent a été définie et étudiée la notion d'intégrale de Riemann pour des fonctions définies sur un intervalle fermé et borné [a , b] dites intégrables au sens de
Riemann. On va maintenant s'intéresser aux fonctions f à valeurs réelles ou complexes définies sur un intervalle [a , b[ (resp. ]a , b]), b pouvant être +& (resp. a pouvant être -&), et qui ne sont pas nécessairement bornées. On considérera ensuite les fonctions définies seulement sur des intervalles ouverts ]a , b[ , éventuellement non bornés.

Exemples :

1 xn sur ]0 , 1] ou sur [1 , +&[ , ˘n x sur ]0 , 1] ou

1

sur ]0 , 1[ …

x(1 - x)

Toutes les fonctions considérées dans ce chapitre seront à valeurs réelles ou complexes, le cas des fonctions complexes pouvant se ramener à celui des fonctions réelles en considérant
Ref et Imf.
Définition 1
Si I est un intervalle quelconque de È, une application f de I dans È ou  sera dite localement intégrable sur I si sa restriction à tout intervalle fermé et borné contenu dans I est intégrable au sens de Riemann.
Il suffit, par exemple, que f soit continue sur I, ou continue par morceaux, et c'est ce qui arrivera pratiquement toujours dans les exemples considérés.
Définition 2
Soit f une fonction localement intégrable sur [a , b[ , où a ‘ È mais b peut-être +& (resp.
]a , b] où a peut être -&). On dit que l'intégrale de f sur [a , b[ est convergente (ou existe) si x b

⌠ f(t) dt où x ‘ [a , b[ (resp. F(x) = ⌡
⌠
la fonction F(x) = ⌡

f(t) dt où x ‘ ]a , b]) a une

a x limite finie quand x tend vers b par valeurs inférieures (resp. quand x tend vers a par valeurs supérieures). Cette limite est alors appelée intégrale généralisée de f sur [a , b[ b (resp. ]a , b]) et notée ⌠
⌡ f(t) dt . a
Si cette limite n'existe pas, on dit que l'intégrale de f sur [a , b[

(resp. ]a , b])

est

divergente (ou n'existe pas).
Une première méthode pour étudier la convergence d'une