Devoir 1 u Thèmes abordés

Exercice 1 : Étude de fonction, exploitation d’un graphique. Exercice 2 : Logique – Algèbre de BOOLE. Exercice 3 : Résolution d’équations, inéquations, systèmes avec des logarithmes et des exponentielles. Exercice 4 : Évolution d’une population ; suites numériques.

Exercice 1 (5 points)
La société TOPGAMES a lancé en 2010 un nouveau jeu sur console. Le nombre de nouveaux jeux vendus au cours des 12 mois de l’an 2010 a fait l’objet d’une statistique dont voici un extrait (le mois 1 est janvier 2010) :
Mois Nombre de jeux vendus en milliers 1 2 10 3 25 4 30 5 6 7 8 9 10 57 11 60 12 61

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La société sait par expérience que, pour ce genre de jeu, les ventes croissent pendant une certaine période pour atteindre un maximum, puis chutent plus ou moins rapidement ; les consommateurs attendant alors la nouvelle version du jeu. Les précédents lancements ont montré que le nombre de jeux (en milliers) vendus chaque mois, peut être modélisé par une fonction V définie par : V (x) = x (A – B x ), où A et B sont deux constantes réelles, et x désigne la date exprimée en mois (x = 1 représentant janvier 2010). Partie A. Détermination du modèle 1. Calculer les deux constantes A et B à 10 –3 près si on impose à la fonction V de coïncider avec la statistique aux deux mois extrêmes, c’est-à-dire si V(1) = 10 et V(12) = 61. (1 point) 2. Calculer l’augmentation en pourcentage, du nombre de jeux vendus entre mars et avril 2010. (0,5 point) Partie B. Étude du modèle On choisit le modèle, où la fonction V est définie pour tout nombre réel x par :

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V (x) = 2x (6 – x )

1. Résoudre l’équation V(x) = 0. (0,5 point) 2. Calculer la dérivée de la fonction V et vérifier que V’(x) = 3( 4 – x ) (0,5 point) En déduire le tableau de variation de V. (0,5 point) 3. Reproduire sur votre copie le tableau suivant et le compléter (arrondir à l’entier le plus proche). (0,5 point)

x V(x)

1

4

8

12

16

20

24

28