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Pages: 5 (1122 mots) Publié le: 15 juin 2014
MATHEMATIQUE
1. CALCULS VECTORIELS DANS L'ESPACE
1.1 VECTEURS

Vecteurs égaux :


Deux vecteurs non nuls sont égaux si et seulement si ils ont la même
direction, le même sens et la même norme.



Le vecteur

est égal au Vecteur

parallélogramme.


si et seulement si ABCD est un

I est le milieu du segment [AB] si et seulement si le vecteur
sont égaux.

Somme de 2vecteurs :
Soit u et v deux vecteurs et M un point.

La translation de vecteur u associe au point
M le point N

La translation de vecteur v associe au point
N le point P

La translation qui associe le point P au point
M est appelée :

translation de vecteur u+v
Vecteurs opposés :

Un vecteur est dit « opposé » à un autre vecteur si il à la même
direction ,la même norme , mais il est de «sens contraire ».
Vecteurs parallèles :
Deux vecteurs non nuls

et

sont parallèles s’il existe un
nombre réel k tel que

.

Autrement dit, deux vecteurs
sont parallèles si l’un est un
multiple de l’autre.

et le vecteur

Composantes de vecteurs :
Les vecteurs possèdent une composante horizontale et une composante verticale qui
déterminent l’orientation du vecteur. Lescomposantes du vecteur sont écrites entre
parenthèses comme des coordonnées.
AB=(xb-xa, yb-ya, zb-za)
Points alignés :
Pour vérifier si les points A, B et Csont

alignés, on peut étudier les vecteurs A et BC.
B
On calcule donc les coordonnées de ces
vecteurs :

AB (xB−xA ; yB−yA) ⇒AB (6−2 ;−1−
(−3))⇒ AB (42)(4;2)
BC (xC−xB ; yC−yB)⇒ BC (8−6 ;−0−
(−1))⇒ BC (21)
On remarque que : A =2
B BCLes vecteurs A et BC sont donc parallèles.
B
Milieu d'un segment :
Soit (O, I, J) un repère du plan et A(xA ; yA), B(xB ; yB) deux points du plan. Si M est

le milieu du segment [AB], alors les coordonnées de M sont données par la formule
.
Distance entre 2points
Si

et

sont deux points du plan ou de l'espace usuel, la norme du vecteur

la distance

c'est-à-dire la longueur dusegment
.

double barre :

Dans le plan, si le vecteur a pour coordonnées
Si les points

et

ont pour coordonnées respectives

est

. Elle se note à l'aide d'une
, sa norme s'écrit
et

alors :

Dans l'espace, si le vecteur a pour coordonnées
Si les points

et

alors :

, sa norme s'écrit :

ont pour coordonnées respectives
2

et
2

dist(AB)=AB=||AB||=(Xb-Xa)+(Yb-Ya) +(Zb-Za)

2

1.2 PRODUITS SCALAIRES
Le produit scalaire des vecteurs u (x ; y ) et v (x ; y ) est u.v=(x ; y ).(x ; y )= x . X
1

+ y1. y2

1

2

2

1

1

2

2

1

2

Propriétés :
Quels que soient les vecteurs u, v et w et le réel r, on a :
• u.v=v.u (commutativité)

• u.(v+w)=uv+uw (distributivité par rapport à l'addition)
• (ru).v=r.(u.v)
• 0.u=0
• u.u=u

2

Comment calculer l'angle entre deux vecteurs ?
Si u (x1 ; y1) et v (x2 ; y2) alors cos0 = x1 . X2 + y1 . Y2

x12y12. x22+y22

Tableau :
x

0

Π/6

Π/4

Π/3

Π/2

Sin x

0

1/2

2/2

3/2

1

Cos x

1

3/2

2/2

1/2

0

Tang x

0

3/3

1

3

n'existe pas

Vecteurs orthogonaux :
Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux ssi leurproduit scalaire est nul (leur

angle forme 90°). Pour noter que les vecteurs u et v sont orthogonaux, on écrit u v

Théorème d'Al Kashi

La loi des cosinus s'énonce de la façon suivante :
Soit un triangle ABC, dans lequel on utilise les notations usuelles : d'une part α, β et
γ pour les angles et, d'autre part, a, b et c pour les longueurs des côtés
respectivement opposés à ces angles.2. LES SUITES
Généralité :
Une suite est une liste ordonnée finie ou infinie de réels.

Les thermes de la suite sont les différents nombres qui composent celle-ci :
er

U1 = le 1 therme

U = le nème therme
n

On définit généralement une suite par une forme explicite et en fonction de l'indice
n. Ex : U : n/ n+1
n

On définit un terme en fonction d'un ou plusieurs termes :...
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