MATHEMATIQUE
1. CALCULS VECTORIELS DANS L'ESPACE
1.1 VECTEURS

Vecteurs égaux :
•

Deux vecteurs non nuls sont égaux si et seulement si ils ont la même direction, le même sens et la même norme.

•

Le vecteur

est égal au Vecteur

parallélogramme.
•

si et seulement si ABCD est un

I est le milieu du segment [AB] si et seulement si le vecteur sont égaux.

Somme de 2 vecteurs :
Soit u et v deux vecteurs et M un point.

La translation de vecteur u associe au point
M le point N

La translation de vecteur v associe au point
N le point P

La translation qui associe le point P au point
M est appelée :

translation de vecteur u+v
Vecteurs opposés :

Un vecteur est dit « opposé » à un autre vecteur si il à la même direction ,la même norme , mais il est de « sens contraire ».
Vecteurs parallèles :
Deux vecteurs non nuls

et

sont parallèles s’il existe un nombre réel k tel que

.

Autrement dit, deux vecteurs sont parallèles si l’un est un multiple de l’autre.

et le vecteur

Composantes de vecteurs :
Les vecteurs possèdent une composante horizontale et une composante verticale qui déterminent l’orientation du vecteur. Les composantes du vecteur sont écrites entre parenthèses comme des coordonnées.
AB=(xb-xa, yb-ya, zb-za)
Points alignés :
Pour vérifier si les points A, B et Csont

alignés, on peut étudier les vecteurs A et BC.
B
On calcule donc les coordonnées de ces vecteurs :

AB (xB−xA ; yB−yA) ⇒AB (6−2 ;−1−
(−3))⇒ AB (42)(4;2)
BC (xC−xB ; yC−yB)⇒ BC (8−6 ;−0−
(−1))⇒ BC (21)
On remarque que : A =2
B BC

Les vecteurs A et BC sont donc parallèles.
B
Milieu d'un segment :
Soit (O, I, J) un repère du plan et A(xA ; yA), B(xB ; yB) deux points du plan. Si M est

le milieu du segment [AB], alors les coordonnées de M sont données par la formule
.
Distance entre 2points
Si

et

sont deux points du plan ou de l'espace usuel, la norme du vecteur

la distance

c'est-à-dire la longueur du