Terminale S
Décembre 2008 Mathématiques Durée : 4 heures

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

EXERCICE 1 (5 points) - Commun à tous les candidats -
On considère le plan P rapporté à un repère orthonormal direct. P\{O} désigne le plan P privé du point O.
1. Restitution organisée des connaissances
On prend comme pré requis les résultats suivants :
Si z et z’ sont des nombres complexes non nuls, alors arg(zz’) = arg(z) + arg(z’) [2]
Pour tout vecteur non nul d’affixe z, arg(z) = [2]
a) Soient z et z’ des nombres complexes non nuls, démontrer que [2]
b) Démontrer que si A, B, C sont trois points du plan, deux à deux distincts, d’affixes respectives a, b, c, alors :
[2]
2. On considère l’application f de P\{O} dans P\{O} qui au point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ définie par . On appelle U et V les points du plan d’affixes respectives 1 et i.
a) Démontrer que pour tout z  0, on a arg(z’) = arg(z) [2].
En déduire que, pour tout point M de P\{O}, les points M et M’ appartiennent à une même demi-droite d’origine O.
b) Déterminer l’ensemble des points M de P\{O} tels que M = M’.
c) On admet que si M est un point distinct de O, U, V, alors M’ est également distinct de O, U, V.
Démontrer que dans ce cas,
En déduire une relation entre et
3. a) Soit M d’affixe z, distinct de U et de V. Démontrer que M est sur la droite (UV) privée de U et de V si et seulement si est un nombre réel non nul.
b) Déterminer l’image par f de la droite (UV) privée de U et de V.

EXERCICE 2 (5 points) - Commun à tous les candidats -
On considère l’équation (E) : , où z désigne un nombre complexe.
Partie A
1. a) Démontrer que (E) admet une solution réelle, notée .
b) Déterminer les deux nombres complexes a et b tels que, pour tout nombre complexe z, on ait :

2. Résoudre alors (E).
Partie B
Le plan est muni d’un repère orthonormé