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Fiches de MathComplexes
Calcul en écriture algébrique : soient z = a + bi et z' = a' + bi z + z' = ( a + a' ) + i ( b' + b ) z - z' = ( a - a' ) + i ( b + b' ) z x z' = ( a.a' - b.b' ) + i ( a.b' + a'.b ) si z' différent de 0 alors z/z' = ( a + ib ) / ( a + ib ) = ( a + ib )( a' - ib' ) / ( a' + ib' )( a'-ib' )
Exemple : écrire sous forme algébrique les nombres compexes suivants : z1 = ( 1 + i ) ( 2 - 3i ) - 3 ( 4i ) ( 3i + 1 ) + ( 1 + i )² = ( 2-3i+2i+3 ) - 3(12i² + 4i )+ ( 1+2i-1 )
= 4i - 11i z2 = 2i / ( 1 + i )² = 2i / 1+2i-1 = 2i / 2i = 1 z3 = 1+3i / 3+2i = ( 1+3i )( 3+2i ) / ( 3-2i ) ( 3+2i ) = -3+11 / 13
Propriété du conjugué : résoudre : z + 1 / z-1 = 1+i
=> z+1 = ( 1 + i ) ( z -1 ) z+1 = z -1 + iz - i z = 2+i / i = 2i-1 / -1 = -2i + 1 s = 1 - 2i
Résolution des équation du second dégré : delta > 0
delta = 0
delta < 0 et
Module d'un nombre complexe :
soit z = a + ib => z.z = /z/²
Argument d'un nombre complexe :
Le module d'un nombre complexe est la distance qui sépare l'origine du repère complexe au point M d'affixe z.
De plus, pour , on a :
La distance entre A et B, respectivement d'affixes zA et zB, est donnée par :
Ecriture trigo : ecriture algebrique : ecriture trigo : z = a + ib z = r ( cos argz + isin argz )S
Exemple : La forme trigonométrique de est :
Dérivée
Fonctions usuelles :
Propabilités
Espérance mathématique de la variable aléatoire = E(x) = p( x =x1 ) . x1 + ....... + p ( x=xn ) . xn
Variance de la variable aléatoire = V(x) = p( x=x1 ) . ( E(x) - x1 ) ² + ........+ p ( x = xn ) . ( E(x) - xn )²
L'écarte-type