Maths financiere
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OPÉRATIONS FINANCIÈRES A INTÉRÊTS COMPOSÉS
I) Intérêts et valeur acquise Définition Un capital est placé à intérêts composés lorsque le montant des intérêts produits à la fin de chaque période de placement s’ajoute au capital placé pour devenir productif d’intérêts la période suivante. La valeur acquise Cn par le capital initial C0 au bout de n périodes de placement est égale à :
Cn = C0 (1 + t )
Remarque
n
avec t : taux d’intérêts sur une période
Le montant des intérêts acquis est la différence entre la valeur acquise et le capital placé : i = Cn − C0 Les périodes de capitalisation des intérêts peuvent être le mois, le trimestre, le semestre ou l’année. Le montant des valeurs acquises C1, C2, C3, … Cn forment une suite géométrique de raison : (1 + t). Les intérêts composés sont surtout utilisés pour des placements à long terme. Exemple Un capital de 5 000 € est placé à intérêts composés au taux annuel de 4 % pendant 5 ans. La première année les intérêts se calculent sur le capital C0 = 5000 € : i1 = 5000 × 0, 04 = 200 € La valeur acquise de la première année est : C1 = 5200 € L’année suivante, les intérêts se calculent sur le capital C1 = 5200 € : i2 = 5200 × 0, 04 = 208 € La valeur acquise de la deuxième année est : C1 = 5408 € Ainsi de suite, la valeur acquise de la cinquième année est : n C5 = C0 (1 + t ) = 5000 ×1, 045 soit C5 = 6083, 26 € .
II) Calculer le montant d’un capital placé Méthode
Connaître la valeur acquise, le nombre de périodes, le taux périodique. Transformer la formule : n −n Cn = C0 (1 + t ) équivaut à C0 = Cn (1 + t )
Cours sur les intérêts composés
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Exemple
Quel capital faut-il placer pendant 5 ans au taux de 3,5 % l’an pour obtenir une valeur acquise de 5000 € ? Cn = 5000 € ; t = 3,5 % ; n = 5 ans.
C0 = Cn (1 + t )
−n
= 5000 × (1, 035 )
−5
;
soit C0 = 4209,87 € .
III) Calculer un taux de placement