Suites réelles

Définition A) Généralités

Soit E un ensemble. Soit K un intervalle de N (du type [pic] ou [pic]) non vide. Une suite d’éléments de E indexée par K est une application [pic]. L’ensemble des suites d’éléments de E indexées par K est noté [pic] (c’est aussi [pic]) Dans le cas où [pic], on parle de suites à valeurs réelles, ou suites réelles. Si [pic], on parle alors de suites complexes.

Pour [pic], l’ensemble des valeurs de la suite est [pic]. On dit qu’une suite est infinie si elle est indexée par un ensemble infini. [pic] est le terme de rang k. On s’intéresse dans ce chapitre à [pic]

B) Opérations sur les suites réelles

Soient [pic], [pic]. [pic] désigne la suite réelle w définie par : [pic] [pic] désigne la suite réelle h définie par : [pic] [pic] désigne la suite réelle u’ définie par : [pic]. "." : loi de composition à opérateur externe : [pic]. [pic] désigne la suite réelle dont tous les termes sont nuls : [pic]. (de même, [pic] ou 1 si il n’y a pas d’ambiguïté.)

Remarque : Il n’y a pas intégrité, c'est-à-dire : [pic] Par exemple : [pic] Alors [pic], mais [pic] et [pic].

C) Divers modes de définition de suites

• Définition explicite ; donnée, pour chaque [pic], de [pic] en fonction de n (de façon plus ou moins complexe, avec éventuellement des sommes ou des conditions…) • Définition récurrente : - récurrence « simple » : [pic] est telle que : [pic] (Problème de définition éventuelle, dépend de f. On peut résoudre ce problème par récurrence) - récurrence « double » : [pic] • Définition implicite. Par exemple : « pour [pic], [pic] est la solution réelle positive de l’équation [pic] ».

On peut aussi imaginer d’autres modes de définitions de suites, plus