Exercices de math´ matiques de r´ vision e e
Le programme de math´ matiques du DUT s’appuie sur le programme de terminale S, e incluant par exemple les calculs alg´ briques, les d´ riv´ es et primitives ou l’´ tude des e e e e `´ fonctions. Le pr´ sent document contient une s´ lection d’exercices a etudier pendant l’´ t´ , e e ee afin de vous permettre de pr´ parer au mieux votre futur cursus universitaire. e ` Bon courage et au plaisir de vous rencontrer a la rentr´ e ! e

Table des mati` res e
A Calculs sur les nombres et combinatoire B Analyse : Calculs de d´ riv´ es, primitives et int´ grales e e e
1 2 3 Calculs de d´ riv´ es e e Calculs de primitives Calculs d’int´ grales e

2 3
3 4 5

´ C Analyse : Etudes de Fonctions
1 2 3 4 Domaine de d´ finition d’une fonction e ´ Etude des variations d’une fonction ´ Equation de la tangente en un point au graphe d’une fonction Calcul de limites

6
6 6 7 7

Premi` re partie e

Calculs sur les nombres et combinatoire
` Tous les exercices suivants sont a faire sans calculatrice. On rappelle que la factorielle d’un nombre entier n positif est d´ finie par n! = n × (n − 1) × · · · × 2 × 1. Par exemple, e 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. 1. Simplifier
10! 8!

puis

10001! 9999!

2. Factoriser les expressions suivantes : • 13! − 10! Simplifier les expressions suivantes : • n! + (n − 2)! (n − 1)!2 • (n + 1)!(n − 1)! n!2 • (2n)! 2n n! • n! + (n − 2)!

p 3. Pour 0 ≤ p ≤ n,, on note Cn =

n! . Par exemple, p!(n − p)! 8! 8×7×6×5×4×3×2×1 8×7 2 C8 = = = = 4 × 7 = 28 . 2!6! 2×1×6×4×3×2×1 2×1

2 13 (a) Calculer C40 et C17 . n 1 0 (b) Calculer Cn , Cn , Cn . n−k k (c) V´ rifier que pour tout entier k compris entre 0 et n, Cn = Cn . e

4. Si (un )n∈N est une suite r´ elle, on note e n uk = u0 + u1 + u2 + · · · + un−1 + un . k=0 Par exemple, avec ui = i2 , on a De mani` re analogue, on note e n 5 2 k=0 i

= 02 + 12 + 22 + 32 + 42 + 52 .

uk = u0 × u1 × u2 × · · · × un−1 × un . k=0 (a) V´ rifier que e