GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS

I.

Notion de fonction.

1. Fonction d’une variable.
a. Définition.
Définition d’une fonction : Soit I un intervalle ou une réunion d’intervalles.
Définir une fonction f sur I, c’est associer à chaque réel x de I un réel et UN SEUL, appelé image de x.
On note f : x → f (x ) , f (x ) est l’image de x par la fonction f.
Exemples
3
1
i. Soit f : x → . Quel(s) réel(s) associe-t-on respectivement à -1, -2, , 0 ? x 2
1
3
2
A -1, on associe -1. A -2, on associe − . A , on associe .
2
2
3
1
Le nombre n’existe pas.
0
Pour tout réel différent de 0, on associe un et un seul réel.
On dit que f est une fonction définie sur ]− ∞ ; 0[ ∪ ]0 ; + ∞[ . ii. A chaque réel x, on associe le réel y tel que y 2 = x 2 + 1 .
Quel(s) réel(s) associe-t-on respectivement à 0, -1 ?
Si x =0, y 2 = 1 . Cette équation a deux solutions 1 et -1. Donc à 0, on associe 1 et -1.
Si x =-1, y 2 = 2 . Cette équation a deux solutions 2 et − 2 . f n’est pas une fonction puisque à tout réel elle associe deux nombres.
Définition de l’ensemble de définition d’une fonction : On appelle ensemble de définition de la fonction f, noté D ou D f , l’ensemble des réels x qui admettent une image par f.
Exemples :
1
i. la fonction f : x → est définie sur ]− ∞ ; 0[ ∪ ]0 ; + ∞[ . x ii. Soit f définie par f ( x) = x . L’ensemble de définition de f est [0 ; + ∞[ .

b. Calculs d’images et antécédents.
Vocabulaire :
► x est appelée la variable : x varie en prenant toutes las valeurs possibles dans l’ensemble de définition.
► f(x) est l’image de x par f.
► x est l’antécédent de f(x) par f.
Exercice : Soit f définie sur [− 3 ; 2] par f ( x) = x 2 .
1. Cherchez les images par f de -3 ; 0 ; 1 ; -2 ; 3 ; 2 ; -1 ; −

10
.
3

2. Cherchez le ou les antécédents par f de 4 ; -1 ; 0 et 9.
Correction :
1.
− 3 ∈ Df et f (−3) = (−3) 2 = 9 ; 0 ∈ Df et f (0) = 0 2 = 0 ; 1 ∈ Df et f (1) = 12 = 1 ;

− 2 ∈ Df et f (−2) = (−2) 2 = 4 ; 3 ∉ Df et f (3) n'