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Pages: 8 (1845 mots) Publié le: 23 février 2011
HX3 2006/2007 - Espaces vectoriels 1.
Soit E = R∗ × R. On d´finit pour (x, y) et (x , y ) dans E et λ ∈ R : e + (x, y) + (x , y ) = (xx , y + y ) et λ(x, y) = (xλ , λy) V´rifier que E muni de ces lois est un R-espace vectoriel. e

2. 3.

Soient X ⊂ R et E = f ∈ RR , ∀x ∈ X, f (x) = 0 . Montrer que E est un R-espace vectoriel pour les lois usuelles. A|x| pour

On note E l’ensemble desfonctions f : R −→ R telles qu’il existe a ∈ R+ et A ∈ R+ avec |f (x)| tout x a. Montrer que E est un R-espace vectoriel pour les lois usuelles.

Soit (G, +) un groupe ab´lien. Montrer que G ne peut ˆtre muni qu’au plus d’une structure de Q-espace e e vectoriel.

4.

5. Soient E un K-espace vectoriel et U , V et W trois sous-espaces tels que U ⊂ V ∪ W . Prouver que U ⊂ V ou U ⊂ W.
Soient E unK-espace vectoriel et (Fi )i∈I une famille non vide de sous-espace de E tels que pour tout (i, j) ∈ I 2 , il existe k ∈ I avec Fi ∪ Fj ⊂ Fk . Montrer qu’alors F = i∈I Fi est un sous-espace de E.

6. 7.

Soient E un K-espace vectoriel, F et G deux sous-espaces. V´rifier l’´quivalence des propositions suivantes : e e (i) F ∪ G est un sous-espace de E. (ii) F ∪ G = F + G. (iii) F ⊂ G ou G ⊂ F . Soit(u, v) ∈ L(E)2 . Montrer que u(ker(v ◦ u)) = ker v ∩ im u. Soient u ∈ L(E, F ) et v ∈ L(F, G). 1) Etablir que ker v ◦ u ⊃ ker u et im v ◦ u ⊂ im v. 2) Montrer que ker v◦u = ker u (resp. im v◦u = im v) si et seulement si ker v∩im u = {0} (resp. ker v+im u = F ). Soit u ∈ L(E). V´rifier l’´quivalence des deux conditions suivantes : e e (i) im u = im u ◦ u (resp. ker u = ker u ◦ u); (ii) im u + ker u =E (resp. im u ∩ ker u = {0});

8. 9.

10.

11.

Soient E et F deux K-espace vectoriel, E un sous-espace de E et u ∈ L(E , F ). On suppose que E poss`de e un suppl´mentaire dans E. e V´rifier l’existence de u ∈ L(E, F ) tel que u|E = u . e

Soit u ∈ L(E, F ). 1) On suppose que u est injective et que im u poss`de un suppl´mentaire dans F . V´rifier l’existence de e e e v ∈ L(F, E) tel que v◦ u = IE . 2) On suppose que u est surjective et que ker u poss`de un suppl´mentaire dans E. V´rifier l’existence de e e e v ∈ L(F, E) tel que u ◦ v = IF .

12.

13.

Soient E un K-espace vectoriel, u ∈ L(E) et Ψu : L(E) v −→ −→ L(E) u◦v

Montrer que les deux propositions suivantes sont ´quivalentes : e ∗ tel que un = 0 (on dit que u est nilpotent). (i) Il existe n ∈ N (ii) Il existe n ∈N∗ tel que Ψn = 0. u Soit u ∈ L(E). On suppose que pour tout x ∈ E, u(x) et x sont colin´aires. e e 1) On suppose que E poss`de une base (e1 , . . . , en ) (E est de dimension finie). D´montrer que u est une e hom´th´tie en consid´rant e1 + · · · + en . e e e On ne fait plus d’hypoth`se sur E. e

14.

2) Soit (x, y) un syst`me libre de E. On ´crit u(x) = λx et u(y) = µy avec λ et µ dans K.Montrer que λ = µ. e e 3) En d´duire que u est une homoth´tie. e e

15.

Centre de L(E) : Soit u ∈ L(E) tel que pour tout v ∈ L(E), u ◦ v = v ◦ u. On supposera que tout sous-espace de E admet un suppl´mentaire dans E. e 1) Soit x ∈ E, x = 0. Montrer qu’il existe un projecteur de E sur Kx. En d´duire que u(x) ∈ Kx. / e 2) D´duire de l’exercice pr´c´dent que u est une homoth´tie. e e e e Soient E et Fdeux K-espaces vectoriels, u ∈ L(E, F ), n 1) Soient E1 , E2 ,..., En des sous-espaces de E.
n n

16.

1.

a. Montrer que u
n i=1

Ei

=
i=1

u(Ei ).
n

b. Si la somme
i=1

Ei est directe, peut-on affirmer que
i=1 n n

u(Ei ) le soit aussi? Examiner le cas u injective.

2) Soient F1 , F2 ,..., Fn des sous-espaces de F . a. Montrer que u b. Si la somme
i=1 i=1

Fi

⊃i=1

u (Fi ). Y a t-il ´galit´? e e
n

n

Fi est directe, peut-on affirmer que
i=1 i n,

u (Fi ) le soit aussi? Examiner le cas u injective. deux familles de sous-espaces de E. On suppose que

17.

Soient E un K-espace vectoriel, (Ei )1
n i=1 , n}, Ei

(Fi )1
n i=1

i n

pour tout i ∈ {1, 2, . . . , n}, Ei ⊂ Fi et que Prouver que pour tout i ∈ {1, 2, . . .

Ei = = Fi ....
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