nombre derivé
ALe taux d'accroissement
Soit un réel a appartenant au domaine de définition d'une fonction f.
Pour tout réel h non nul, on appelle taux d'accroissement ou taux de variation de f entre a et a+h le quotient :
f(a+h)−f(a)h
En posant x=a+h, le taux d'accroissement entre x et a s'écrit :
f(x)−f(a)x−a
La fonction f est dérivable en a si et seulement si son taux d'accroissement en a admet une limite finie quand h tend vers 0 (ou quand x tend vers a dans la deuxième forme).
Cette limite est appelée nombre dérivé de f en a, et est notée f′(a) :
limh→0f(a+h)−f(a)h=limx→af(x)−f(a)x−a=f′(a)
On considère la fonction f définie pour tout réel x par f(x)=x2+1.
Son taux d'accroissement en 1 est égal à :
(x2+1)−(12+1)x−1=x2−1x−1=(x+1)(x−1)x−1=x+1
Or : limx→1x+1=2
On en déduit que la fonction f est dérivable en 1 et que le nombre dérivé de f en 1 est f′(1)=2.
BLa tangente à une droite en un point
Si f est dérivable en a, sa courbe représentative admet une tangente non verticale au point de coordonnées (a;f(a)), de coefficient directeur f′(a), dont une équation est :
y=f′(a)(x−a)+f(a)
Sachant que la fonction f définie précédemment est dérivable en 1 et que f′(1)=2, on peut établir une équation de la tangente à sa courbe au point d'abscisse 1 :
y=2(x−1)+2
y=2x−2+2
y=2x
IILa fonction dérivée
ALa dérivée sur un intervalle
La fonction f est dérivable sur un intervalle I si et seulement si elle est dérivable en tout réel de cet intervalle.
On appelle alors fonction dérivée de f la fonction notée f′, qui a tout réel x associe f′(x).
Soit une fonction f dérivable sur un intervalle I.
Si f′ est également dérivable sur I, la dérivée de f′, notée f′′, est appelée dérivée seconde de f ou dérivée d'ordre 2 de f .
BLes dérivées des fonctions usuelles
Soient un réel λ et un entier naturel n ; on désigne par Df le domaine de définition de f et par Df′ son domaine de dérivabilité. f(x) f′(x)
Df
Df′ λ 0
R
R x 1
R
R