NOMBRES ENTIERS ET PGCD
I. DIVISEUR D’UN ENTIER NATUREL
a) Définition
Si on a deux entiers naturels a et d non nuls, alors : d est un diviseur de a si et seulement si il existe un entier k tel que a=d ×k
Ainsi, k est aussi diviseur de a.
En clair :
4 est-il un diviseur de 12 ?
12 = 4×3, donc 4 est bien un diviseur de 12.

b) Remarques
Pour tout nombre entier naturel n on a : 1×n = n
On en conclut que 1 est un diviseur de n’importe quel nombre entier naturel. Et tout nombre entier naturel est un diviseur de lui-même.
En clair :
12 = 1 × 12
1 et 12 sont donc diviseurs de 12.

c) Vocabulaire important

2 est un diviseur de 6
6 a pour diviseur 2
6 est divisible par 2

II. DIVISEURS COMMUNS ET PGCD
a) Définitions

Un diviseur commun à deux entiers naturels a et b, est un entier naturel qui divise à la fois a et b.
En clair :
Trouver les diviseurs communs à 15 et 40.
Diviseurs de 15 : 1 ; 3 ; 5 ;15
Diviseurs de 40 : 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 8 ; 10 ; 20 ; 40
Leurs diviseurs communs sont donc 1 et 5.

On a a et b deux entiers naturels.
Le plus grand entier qui divise à la fois et b est appelé : Plus grand commun diviseur de a et
b.
Il est noté PGCD (a ; b)

En clair :

On reprend l’exemple précédent, les diviseurs communs à 15 et 40 sont 1 et 5 donc le plus grand est 5, c’est le PGCD (15 ; 40) = 5

Propriété

La somme ainsi que la différence de deux multiples d’un même nombre entier sont euxmêmes multiples de cet entier.
En clair :
Prenons deux multiples de 3 : 15 et 24
Si on en fait la somme : 15+24 = 39 Or 39 est aussi un multiple de 3.
Si on en fait la différence : 24-15 = 9 c’est aussi un multiple de 3.

b) Méthodes de calcul du PGCD
1ère méthode
C’est la technique que nous avons utilisé juste avant, soit d’écrire tous les diviseurs communs puis de déterminer lequel est le plus grand.
Cette méthode n’est pas viable pour les nombres complexes.

2ème méthode
C’est l’algorithme d’Euclide.
Il faut que a > b
On fait la division euclidienne de a par b. On obtient le reste r si r =