oussama

Pages: 5 (1073 mots) Publié le: 5 juillet 2014
Optimisation avec contraintes
méthodes primales

1. Approche générale
Considérons le problème général de programmation
mathématique suivant:
Min f  x 

1

xR

où le domaine réalisable R est en général défini à l'aide
d'un ensemble de contraintes de type g i  x   0, i  1,, m





i.e., R  x 

n



: gi  x   0, i  1,, m .

Considérons le problèmegénéral de programmation
mathématique suivant:
Min f  x  .
xR

1

Approche de résolution: méthode itérative
i ) Itération initiale
Déterminer une solution initiale x 0  R.
ii ) Itération générale  k  1
Déterminer une direction d k et un pas  k dans cette direction
pour s'éloigner de la solution actuelle x k en prenant
x k 1 = x k + k d k  R.
iii ) Répéter l'itérationgénérale jusqu'à ce qu'un critère d'arrêt soit
satisfait.

La direction d k varie selon la méthode.
Par contre, les méthodes utilisent en général un "pas" optimal
déterminé comme suit:
Étant donné x k et d k , dénotons par  k la plus grande valeur que peut
prendre le pas  k de sorte que x k   k d k  R.
*
Alors le "pas" optimal  k satisfait la relation





*
f x k   k d k  Min0  k  k

 f x

k

 k d k



 2

2. Méthode des directions réalisables
Soit le problème 1 où f  C1 / R et où R est défini à l'aide d'un ensemble
de contraintes linéaires. Ce problème prend la forme suivante:
Min f  x 
 P
T

a i x  bi

Sujet à

i  1,

, m.

Étant donné une solution réalisable x k de  P  définissons l'ensemble des
indices descontraintes actives





iT

I k  i : a x k  bi .
Puisque le pas  k  0, alors pour que x k + k d k  R, il faut que
iT

iT

i  I k

iT

i  I k .

a x + k a d k  bi
i.e.,

k

k a d k  0

 P

Min f  x 
iT

a x  bi

Sujet à



i  1,

, m.



iT

I k  i : a x k  bi .
Puisque le pas  k  0, alors pour que x k + k d k  R, il fautque
iT

iT

i  I k

iT

i  I k .

a x + k a d k  bi
k

k a d k  0

i.e.,
k

Par conséquent la direction d est définie à l'aide d'une solution optimale
du problème

 Pk 

 

Min f x
Sujet à

k

T

d

iT

a d  0 i  Ik
1  d j  1
j  1,

,n

k

Par conséquent la direction d est définie à l'aide d'une solution optimale
du problème

 Pk

 

Min f x k

T

d

T

ai d  0 i  I k
1  d j  1
j  1,

Sujet à

Les contraintes additionnelles  1  d j  1

 

comparer les quantités f x
les directions.

k

 

Si la valeur optimale f x

k

T

T

j  1,

,n

, n permettent de

d sur une base équitable pour toutes

d k  0 de  Pk  , alors la direction d k est une

direction dedescente de f au point x k et par conséquent la fonction économique
f décroît dans la direction d k dans le voisinage de x k .

 

Si la valeur optimale f x

k

T

d k  0 de  Pk  , alors la direction d k est une

direction de descente de f au point x k et par conséquent la fonction économique
f décroît dans la direction d k dans le voisinage de x k .

Plus grand pas  k

Étantdonné x k et d k , dénotons par  k est la plus grande valeur que peut
prendre le pas  k de sorte que x k   k d k  R.
Ainsi, dans le cas de contraintes linéaires,  k est la plus grande valeur que peut
prendre le pas  k de sorte
a

iT



iT



x k   k d k  bi

i  1,

,m

iT

a x   k a d k  bi
i  1, , m .
Or puisque la direction d k a été choisie de tellesorte que
T



k



a i x k   k d k  bi
i  Ik
pour toute valeur de  k  0,
alors il suffit de choisir  k comme étant la plus grande valeur que peut prendre
le pas  k de sorte que
ai

T
T

x

k



  k d k  bi
T

a i x k   k a i d k  bi

i  Ik
i  Ik .

Il suffit de choisir  k comme étant la plus grande valeur que peut prendre
le pas  k de...
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