Maths
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Mathématiques Sup et Spé : [http://mpsiddl.free.fr] dDEnoncés
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Nombres complexes
Exercice 1 [ 02025 ] [correction] z+1 Soit z ∈ U \ {1}. Montrer que z−1 ∈ iR.
Exercice 2 [ 02026 ] [correction] Soit P = {z ∈ C | Imz > 0}, D = {z ∈ C | |z| < 1} et f : C\ {−i} → C définie par f (z) = z−i . z+i Montrer que tout élément de P à son image par f dans D. Montrer que tout élément de D possède un unique antécédent par f dans P .
Exercice 3 [ 02027 ] [correction] a) Déterminer le lieu des points M d’affixe z qui sont alignés avec I d’affixe i et M d’affixe iz. b) Déterminer de plus le lieu des points M correspondant.
Exercice 4
[ 02028 ]
[correction] n n
Calculer pour θ ∈ ]0, 2π[ et n ∈ N, Cn = k=0 cos(kθ) et Sn = k=0 sin(kθ).
Exercice 5
[ 02029 ]
[correction] n Calculer pour θ ∈ R et n ∈ N, Cn = k=0 n k
n
cos(kθ) et Sn = k=0 n k
sin(kθ).
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Corrections Exercice 5 : [énoncé] Cn et Sn sont les parties réelles et imaginaires de n n ikθ nθ e = (1 + eiθ )n = 2n ei 2 cosn θ . 2 k k=0 Ainsi Cn = 2n cos nθ cosn θ et Sn = 2n sin nθ cosn θ . 2 2 2 2
2
Corrections
Exercice 1 : [énoncé] Puisque z ∈ U , on a z = 1/z donc ¯ z+1 z−1 z+1 z−1
=
z +1 ¯ z −1 ¯
=
1/z+1 1/z−1
=
1+z 1−z
z+1 = − z−1 puis
∈ iR.
Exercice 2 : [énoncé] 2 2 2 2 Posons x = Re(z) et y = Im(z). |f (z)| = |z−i|2 = x2 +(y−1)2 . x +(y+1) |z+i| Si y > 0 alors x2 + (y − 1)2 < x2 + (y + 1)2 donc |f (z)| < 1. Ainsi, ∀z ∈ P, f (z) ∈ D. 1+Z Soit Z ∈ D. Z = z−i ⇔ z = i 1−Z avec z+i
1+Z i 1−Z = i 1+Z−Z−Z Z = 2Im(Z) + i 1−|Z|2 ∈ P . |1−Z|2 |1−Z|2 |1−Z| Ainsi, ∀Z ∈ D, ∃!z ∈ P, f (z) = Z. ¯ ¯
2
Exercice 3 : [énoncé] a) M = I est solution. Pour M = I, I, M, M sont alignés si, et seulement si, il existe λ ∈ R tel que −→ − −→ − IM = λIM i.e. iz−i ∈ R. z−i Posons x = Re(z) et y = Im(z). Im iz−i z−i
= 0 ⇔ x(x − 1) + y(y − 1) = 0 ⇔ x −
1 2 2
+ y−
1 2 2
= 1. 2
1/2