Mathématiques Sup et Spé : [http://mpsiddl.free.fr] dD

Enoncés

1

Nombres complexes
Exercice 1 [ 02025 ] [correction] z+1 Soit z ∈ U \ {1}. Montrer que z−1 ∈ iR.

Exercice 2 [ 02026 ] [correction] Soit P = {z ∈ C | Imz > 0}, D = {z ∈ C | |z| < 1} et f : C\ {−i} → C définie par f (z) = z−i . z+i Montrer que tout élément de P à son image par f dans D. Montrer que tout élément de D possède un unique antécédent par f dans P .

Exercice 3 [ 02027 ] [correction] a) Déterminer le lieu des points M d’affixe z qui sont alignés avec I d’affixe i et M d’affixe iz. b) Déterminer de plus le lieu des points M correspondant.

Exercice 4

[ 02028 ]

[correction] n n

Calculer pour θ ∈ ]0, 2π[ et n ∈ N, Cn = k=0 cos(kθ) et Sn = k=0 sin(kθ).

Exercice 5

[ 02029 ]

[correction] n Calculer pour θ ∈ R et n ∈ N, Cn = k=0 n k

n

cos(kθ) et Sn = k=0 n k

sin(kθ).

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Corrections Exercice 5 : [énoncé] Cn et Sn sont les parties réelles et imaginaires de n n ikθ nθ e = (1 + eiθ )n = 2n ei 2 cosn θ . 2 k k=0 Ainsi Cn = 2n cos nθ cosn θ et Sn = 2n sin nθ cosn θ . 2 2 2 2

2

Corrections
Exercice 1 : [énoncé] Puisque z ∈ U , on a z = 1/z donc ¯ z+1 z−1 z+1 z−1

=

z +1 ¯ z −1 ¯

=

1/z+1 1/z−1

=

1+z 1−z

z+1 = − z−1 puis

∈ iR.

Exercice 2 : [énoncé] 2 2 2 2 Posons x = Re(z) et y = Im(z). |f (z)| = |z−i|2 = x2 +(y−1)2 . x +(y+1) |z+i| Si y > 0 alors x2 + (y − 1)2 < x2 + (y + 1)2 donc |f (z)| < 1. Ainsi, ∀z ∈ P, f (z) ∈ D. 1+Z Soit Z ∈ D. Z = z−i ⇔ z = i 1−Z avec z+i
1+Z i 1−Z = i 1+Z−Z−Z Z = 2Im(Z) + i 1−|Z|2 ∈ P . |1−Z|2 |1−Z|2 |1−Z| Ainsi, ∀Z ∈ D, ∃!z ∈ P, f (z) = Z. ¯ ¯
2

Exercice 3 : [énoncé] a) M = I est solution. Pour M = I, I, M, M sont alignés si, et seulement si, il existe λ ∈ R tel que −→ − −→ − IM = λIM i.e. iz−i ∈ R. z−i Posons x = Re(z) et y = Im(z). Im iz−i z−i

= 0 ⇔ x(x − 1) + y(y − 1) = 0 ⇔ x −

1 2 2

+ y−

1 2 2

= 1. 2

1/2