Exo7

Logique et raisonnements
Vidéo
partie 1. Logique
Vidéo
partie 2. Raisonnements
Exercices
Logique, ensembles, raisonnements

Quelques motivations
– Il est important d’avoir un langage rigoureux. La langue française est souvent ambigüe.
Prenons l’exemple de la conjonction « ou » ; au restaurant « fromage ou dessert » signifie l’un ou l’autre mais pas les deux. Par contre si dans un jeu de carte on cherche « les as ou les cœurs » alors il ne faut pas exclure l’as de cœur. Autre exemple : que répondre à la question
« As-tu 10 euros en poche ? » si l’on dispose de 15 euros ?
– Il y a des notions difficiles à expliquer avec des mots : par exemple la continuité d’une fonction est souvent expliquée par « on trace le graphe sans lever le crayon ». Il est clair que c’est une définition peu satisfaisante. Voici la définition mathématique de la continuité d’une fonction f : I → R en un point x0 ∈ I :
∀ε > 0

∃δ > 0

∀x ∈ I

(| x − x0 | < δ =⇒ | f (x) − f (x0 )| < ε).

C’est le but de ce chapitre de rendre cette ligne plus claire ! C’est la logique.
– Enfin les mathématiques tentent de distinguer le vrai du faux. Par exemple « Est-ce qu’une augmentation de 20%, puis de 30% est plus intéressante qu’une augmentation de 50%
? ». Vous pouvez penser « oui » ou « non », mais pour en être sûr il faut suivre une démarche logique qui mène à la conclusion. Cette démarche doit être convaincante pour vous mais aussi pour les autres. On parle de raisonnement.
Les mathématiques sont un langage pour s’exprimer rigoureusement, adapté aux phénomènes complexes, qui rend les calculs exacts et vérifiables. Le raisonnement est le moyen de valider — ou d’infirmer — une hypothèse et de l’expliquer à autrui.

1. Logique
1.1. Assertions
Une assertion est une phrase soit vraie, soit fausse, pas les deux en même temps.
Exemples :
– « Il pleut. »
– « Je suis plus grand que toi. »
– « 2+2 = 4 »
– « 2×3 = 7 »
– « Pour tout x ∈ R, on a x2 0. »
– « Pour tout z ∈