PGCD ET FRACTIONS IRREDUCTIBLES

Critères de divisibilité

Si un nombre entier a pour chiffre des unités 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8
Alors il est divisible par 2

Si un nombre entier a pour chiffre des unités 0 ; 5
Alors il est divisible par 5

Si la somme des chiffres d’un nombre est égal à 3 (ou à un multiple)
Alors il est divisible par 3 (ou à un multiple)

Division euclidienne

a et b désignent deux nombres entiers positifs avec b = 0

Effectuer la division euclidienne de a par b signifie déterminer deux nombres entiers positifs q et r qui vérifient

a = b X q + r a b q q s’appelle le quotient de la division euclidienne r s’appelle le reste de la division euclidienne r

Diviseurs et multiples

a et b désignent deux nombres entiers positifs, avec b = 0

On dit que b est un diviseur de a lorsqu’il existe un entier k tel que : a = b X k

Lorsque b est un diviseur de a, on peut dire que a est un multiple de b, que b divise a et a est divisible par b

Un nombre entier qui n’est divisible que par 1 ou par lui-même est appelé un nombre premier

PGCD

Parmi tous les diviseurs communs à deux nombres entiers strictement positifs x et y, il en existe un qui est plus grand que tous les autres. Le plus grand diviseur commun à x et y est noté PGCD (x, y)

Méthodes de calculs du PGCD

Pour chaque méthode, on applique 2 étapes :
Une étape de calcul (soustraction / division)
Une étape de sélection des nombres / vérification des conditions d’écrit

1. Méthode par soustractions successives dite méthode des différences
2. Méthode par divisions successives dite Algorithme d’Euclide

Nombres premiers entre eux

On dit que deux nombres sont premiers entre eux quand ils n’ont pas d’autres diviseurs communs que 1

Soit a et b deux nombres premiers entre eux : PGCD (a, b)

Réductions de fractions

Si a et b ont un diviseur commun noté k alors a = k X a’ b = k X b’

On peut alors réduire la fraction associée  =  = 

Fractions irréductibles

Une fraction