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Notion de fonctionOn utilise parfois dans la vie courante l’expression « en fonction de » pour traduire une dépendance entre deux situations. En Mathématiques, une fonction traduit la dépendance entre deux nombres.
A- Définitions
Une fonction f permet d'associer à tout nombre x d'un ensemble D un nombre unique y. L'ensemble D est appelé ensemble de définition de la fonction f. Le nombre x est une variable qui parcourt cet ensemble. Le nombre y est l'image de x. Il est important de noter que tout élément de l'ensemble de définition a une image et que celleci est unique.
1. Calcul de l'image d'un nombre
L'image d'un nombre x par une fonction f se note f (x); on lit «f de x». Pour désigner la fonction qui à x associe f (x) on écrit f : ↳ f (x). On définit une fonction en indiquant un moyen de déterminer f (x) lorsque x est donné; cela se fait souvent avec une formule. Exemples 1. Soit f la fonction qui à x associe son double. On écrira f : x ↳ 2x L'image de 5 est 2 × 5 = 10, on écrit f (5) =10. 2. Soit g la fonction qui à x associe son carré. On écrira g : x ↳ x² L'image de 3 est 32=9, on écrit g(3) = 9. 3. Considérons la fonction h : x ↳ x² – 5x et calculons l'image de (-4). Il suffit de remplacer x par (-4) dans la formule qui définit la fonction h. h(-4) = (-4)² – 5 × (- 4) = 16 + 20 = 36. L'image de (-4) est donc 36.
2. Antécédent
Considérons une fonction f et deux réels a et b tels que b = f (a). Nous savons que b est l'image de a. On dit alors aussi que a est un antécédent de b. Attention Le nombre a n'a qu'une image mais b peut avoir plusieurs antécédents, c'est ce qui explique l'utilisation de l'article « un ». Retenons Les antécédents par une fonction f d'un réel b sont les réels dont l'image est b, ce sont donc les solutions de l'équation f (x) = b; leur nombre dépend de la fonction f . Exemples 1. Considérons la fonction f : x ↳ x – 3 et cherchons le ou les antécédents de 5. Il s'agit de déterminer l'ensemble des réels x dont l'image est égale