II – Echantillonnage & estimation

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Distribution d’échantillonnage de la moyenne
Quelle loi pour

X

?

Théorème Central-Limite (TCL)

Si X → Loi quelconque L avec E(X) = µ et Var(X) = σ²

n →€∞
Si X → N (µX, σX)

€

quelque soit n

X → loi normale

En pratique

n ≥ 30

X → loi normale

Quels paramètres pour la loi de distribution de X ?

€

Espérance mathématique de X : E ( X )

E ( X ) = E ( X ) = µX

€

Variance de X :

2 σ Var
X
(
)
Var ( X ) Var X =
= X
( ) n n
€

= erreur standard de la moyenne

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Intervalle de variation d’une moyenne empirique si la distribution de X dans la population est connue (µX et σX connues) dans quel intervalle se trouvera, pour une probabilité donnée, la moyenne d’un échantillon ?

' σ σ *
P) µ − uα / 2 ⋅
≤ X ≤ µ + uα / 2 ⋅ , =1− α
(
n n+ σ
I.V.X = µ ± uα / 2 ⋅ n Table de N(0;1) pour α

€
Raisonnement pour aboutir à l’expression de l’intervalle de variation
(vu en cours et en TD) est à connaître

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Distribution d’échantillonnage d’une somme de moyennes

Population 1
X1 → N(µ1 ; σ1)

Echantillon 1 n1 individus

Echantillon 2 n2 individus

$ σ12 σ 22 '
X1 + X 2 →N&& µ1 + µ2 ;
+ )) n1 n 2 (
%

€

% σ12 σ 22 (
X1 − X 2 →N'' µ1 − µ2 ;
+ ** n1 n 2 )
&

Population 1
X2 → N(µ2 ; σ2)

S’en rappeler pour les comparaisons de moyennes…

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Distribution d’échantillonnage et intervalle de variation d’une proportion X variable aléatoire F = proportion d’individus ayant le caractère C F = n Distribution d’échantillonnage de F

" X % np
E(F) = µF = E $ ' =
#n& n

E(F) = p

€
# X & Var( X ) npq pq
Var(F) = σ = Var% ( =
= 2 =
2
$n' n n n 2
F

p(1 − p)
Var(F ) = n II – Echantillonnage & estimation

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Ø Loi de distribution de F (Convergence de la loi binômiale vers la loi normale)

Pour n grand et p