Projet de Monte Carlo 1

Question1 :
Soit Wt un mouvement brownien, alors : * Le processus Wt est gaussien * EWt=0 * EWtWs=min⁡(t,s)

* Montrons que Wt est suit une N0,t
En effet Wt est une variable aléatoire gaussienne et EWt=0
De plus on sait que EWtWs=min⁡(t,s) donc EWt2=t
On en déduit que Wt suit une N0,t donc W0 suit une N0,0 donc W0=0 p.s * Montrons que E(Wt+r-Wt)Ws=EWt+r-WtEWs pour r > 0 et pour tout s ≤ t
Soit r > 0 et s ≤ t
On a E(Wt+r-Wt)Ws=EWt+rWs-EWtWs=s-s=0
Et EWt+r-WtEWs=EWt+r-Wt*0=0
Donc E(Wt+r-Wt)Ws=EWt+r-WtEWs=0
Or Wt+r-Wt et Ws sont des gaussiennes alors Wt+r-Wt et Ws sont indépendantes.
Méthode de simulation d’un mouvement brownien :
Mouvement brownien
W0=0 ps
Quelque soit 0 ≤ t1< t2 0. * Si le prix de marché est plus petit que K le call n’est pas exercé donc le gain est nul
On en déduit donc que le payoff de l’option est
CT, K, T=ST-K +=maxST-K,0
Le schéma suivant permet de représenter le payoff et le prix d’achat de l’action Question 4 :
La méthode des variables antithétiques est une technique de réduction de la variance employée dans la méthode de Monte-Carlo. Cette méthode consiste à utiliser la Corrélation (statistiques) négative entre deux variables aléatoires pour simuler une variable aléatoire de variance plus petite.
Problème : on dispose de deux échantillons
X=Xi ;1≤i≤n et Y={Yi;1≤i≤m}
On a EX=EY=µ et V(X-Y)>0
On veut Calculer EX de la manière la plus éfficace possible c’est-à-dire on veut reduire sa variance.
Posons Z=(X+Y)2
La complexité de la simulation de Z est la même que pour X et Y
De plus si VX=V(y) et si