Feuille d’exercices 11 Polynômes Définitions
1. Calculer le degré et le coefficient dominant de : (a) X 3 − 3iX + X ( X − 2 + i )2 (b) ( X − 2)n − ( X + 1)n (c) n k =0

∏ ( X k − 2k )
P( X 2 ) = X 2 P

2. Résoudre dans K[ X ]

On commencera par trouver une condition nécessaire sur le degré d’une solution. 3. POur n ∈ N∗ on pose Pn = 1 ( X + i )2n+1 − ( X − i )2n+1 2i

. Montrer que Pn ∈ R[ X ], calculer son degré, son coefficient dominant (et ses racines).

Division euclidienne
4. Calculer la division euclidienne de P par Q où (a) P = X 3 + 2X + 3 et Q = X + 2. (b) P = X 3 + 2X + 3 et Q = X 2 + 3 (c) P = X 4 − 3X et Q = X 5 − 3 (d) X 3 − iX 2 − X et Q = X − 1 + i. (e) X n − 2 et Q = X + 1 5. Calculer les restes dans la division euclidienne de . . . (a) X n + X n−1 + X + 1 par ( X − 1)2 (b) X 2n + 2X n + 1 par X 2 + 1 6. Soit P ∈ R[ X ]. On suppose que les restes des divisions euclidiennes par X, X − 1, X + 1 sont respectivement 1, 2, 8. Trouver le reste de la division euclidienne de P par X ( X 2 − 1) 7. Soit a ∈ K, b ∈ K et P ∈ K[ X ] (a) Calculer le reste de la division euclidienne de P par ( X − a)( X − b) en fonction de P( a), P(b), P ( a). On distinguera les cas a = b et a = b. (b) Calculer le reste de la division euclidienne de (cos θ + X sin θ )n par X 2 + 1

1

Autres
8. En calculant de deux façons les coefficients du polynômes ( X + 1)n+m montrer que : n+m k Calculer

=

i =0

∑

k

n i

m k−i

k =0

∑

n

n k

n k

9. Pour n ∈ N et k ∈ 0, n on note Ak = n n! (n − k)!

Soit P = ∑ ak X k un polynôme à coefficients dans K. Démontrer que pour P(
)

∈N

=

k

∑ Ak ak X k−

10. * On se propose de redémontrer la formule de Taylor sans utiliser de récurrence. Soit P = ∑ ak X k un polynôme et a ∈ K. En écrivant P=

∑ ak [(X − a) + a]k

en utilisant la formule du binôme et l’exercice 9, redémontrer la formule du binôme

Exercices supplémentaires
11. Résoudre dans K[ X ] P = P P . On commencera par