Probabilit S Conditionnelles

299 mots 2 pages
Probabilités conditionnelles
Probabilité de A sachant B.
Soient A et B deux événements, l’événement B étant de probabilité non nulle. La probabilité de l’événement A sachant que l’événement B est réalisé est notée pB(A) (ou aussi p(A\B)). Elle est donnée par la formule pB(A) = p(A ∩ B) p(B) .
On en déduit que p(A ∩ B) = p(B) × pB(A).
Evénements indépendants
Soient A et B deux événements.
A et B sont indépendants si et seulement si p(A ∩ B) = p(A) × p(B).
Si de plus p(A) 6= 0,
A et B sont indépendants si et seulement si pA(B) = p(B).
Variables aléatoires discrètes indépendantes
Soient X et Y deux variables aléatoires discrètes prenant respectivement les valeurs x1, . . . , xn et y1, . . . , ym.
X et Y sont des variables aléatoires indépendantes si et seulement si pour tout entier i tel que 1 6 i 6 n et pour tout entier j tel que 1 6 j 6 m p((X = xi) ∩ (Y = yi)) = p(X = xi) × p(Y = yj).
Formule des probabilités totales
A1, A2, . . . , An sont n événements (n étant un entier naturel supérieur ou égal à 2) tels que :
• chaque événement Ai a une probabilité non nulle,
• deux événements quelconques Ai et Aj, i 6= j, sont incompatibles (c’est-à-dire que pour tous entiers distincts i et j tels que 1 6 i 6 n et 1 6 j 6 n on a p(Ai ∩ Aj) = 0),
• la réunion des événements A1, A2, . . . , An est l’ensemble des cas possibles Ω.
Alors, pour tout événement B p(B)= p(B ∩ A1) + p(B ∩ A2) + . . . + p(B ∩ An)
= p(A1) × pA1
(B) + p(A2) × pA2
(B) + . . . + p(An) × pAn(B).

c Jean-Louis Rouget, 2012. Tous droits réservés. 1 http ://www.maths-france.fr

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