LEÇON N˚ 5 : Probabilité conditionnelle, indépendance de deux événements (on se limitera au cas où l’ensemble d’épreuves des fini). Applications à des calculs de probabilité.
Pré-requis : – Opérations sur les ensembles, cardinaux ; – Espaces probabilisés ; – Calcul de probabilités. On se place dans un espace probabilisé (Ω, P(Ω), P). Introduction : On se donne le tableau suivant représentant la proportion de garçons (G) et de filles (F) étudiant l’anglais (A) ou l’espagnol (E) en 1re langue. G F A E 48 22 53 27 101 49 70 80 150

Quelle est la probabilité qu’un élève fasse de l’anglais sachant que c’est un garçon : 48 |G ∩ A| = . |G| 70 On constate aussi que 48/150 48 P(G ∩ A) = = . P(G) 70/150 70

5.1

Probabilité conditionnelle
PB : P(Ω) −→ [0, 1] A −→ PB (A) = P(A ∩ B) P(B)

Théorème 1 : Soit B ∈ P(Ω) telle que P(B) = 0. Alors l’application

est une probabilité sur Ω.

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Probabilité conditionnelle et indépendance démonstration : Puisque pour toute partie B de Ω, B ∩ Ω = B, il est clair que PB (Ω) = 1. Soient alors A1 , A2 ∈ P(Ω) tels que A1 ∩ A2 = ∅. Alors PB (A1 ∪ A2 ) = =
.

P (A1 ∩ B) ∪ (A2 ∩ B) P (A1 ∪ A2 ) ∩ B = P(B) P(B) P(A1 ∩ B) P(A2 ∩ B) + = PB (A1 ) + PB (A2 ). P(B) P(B)

.

.

PB est donc bien une probabilité sur Ω.

Définition 1 : Soient A, B ∈ P(Ω) tels que P(B) = 0. Le nombre PB (A) est appelé probabilté conditionnelle de A sachant (que) B (est réalisé), aussi notée P(A|B). Conséquences directes : – Si A ∩ B = ∅, alors PB (A) = 0 ; – Si B ⊂ A, alors PB (A) = 1 (car A ∩ B = B) ; – Si P(A) = 0 et P(B) = 0, alors P(A ∩ B) = PB (A) P(B) = PA (B) P(A). Exemple : Une urne contient deux boules rouges et trois bleues. On fait deux tirages successifs sans remise. Quelle est la probabilité de tirer deux boules bleues ? Soient Bi l’événement « on tire une boule bleue au i-ième tirage » pour i ∈ {1, 2}. Alors 13 3 P(B1 ∩ B2 ) = PB1 (B2 ) P(B1 ) = = . 25 10

Théorème 2 (formule des probabilités composées) : Soient A1 , . . . , An ∈